5-§. n-tartibli o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar

2-Misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish. Berilgan tenglamanig xarakteristik tenglamasi

korinishga ega bo’lib. bu tenglama yechimlari, ga teng bo’lgan 2 ta ikki karrali (-2 va 2 ikkik karrali ildizlar) va 1 ta bir karrali (0 bir karrali ildiz) haqiqiy sonlardan iborat.

Demak (5.5) formulaga asosan berilgan tenglama umumiy yechimi

bo’ladi.

3. Xarakteristik tenglamaning ildizlari turliva ular orasida kompleks sonlar ham bo’lsin.

Faraz qilaylik kompleks son xarakteristik tenglama ildizi bo’lsin, u holda, ma’lumki ((5.1) tenglama koeffisiyentlari haqiqiy sonlar bo’lgani uchun) kompleks son ham xarakteristik tenglama ildizi bo’ladi. (5.2) ga asosan funksiya (5.1) tenglama xususiy yechimi bo’ladi, demak 4.2 teoremaga asosan va funksiyalar ham (5.1) tenglama xususiy yechimlari bo’ladi. Xulosa qilib shuni takidlash mumkinki, (5.1) tenglamaning xarakteristik sonlariga mos chiziqli erkli xususiy yechimlari va bo’ladi.

(4.5) va (5.2) ga asosan (5.3) xarakteristik tenglamaning kompleks va turli haqiqiy ildizlariga mos (5.1) tenglamaning umumiy yechimi



(5.6)

bo’ladi.