5-§. n-tartibli o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar

7-Misol. tenglamaga mos birjinsli tenglama umumiy yechimi bo’lsa berilgan tenglama umumiy yechimini toping.

Yechish. Berilgan tenglama umumiy yechimini, (5.13) ga ko’ra ko’rinishda izlaymiz. (5.14) ga asosan quyidagi sistemani tuzib olamiz:

Sistemani yechib, , ya’ni va larni topamiz. Demak berilgan tenglama umumiy yechimi bo’ladi.

5.4. O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglamaga keladigan tenglamalar.
1-Ta’rif. Ushbu

(5.15)

ko’rinishdagi tenglamaga Lagranj tenglamasi deyiladi, bu yerda -berilgan sonlar.

Quyidagi almashtirishdan keyin, (5.15) tenglama, o’zgarmas koeffisiyentli bir jinsli tenglamaga keladi.

(5.15) tenglamaning bo’lgan holi, ya’ni

(5.16)

ko’rinishdagi tenglama Eyler tenglamasi deb yuritiladi, bu tenglama almashtirish orqali, xarakteristik tenglamasi

( ) (5.17)

ko’rinishda bo’lgan o’zgarmas koeffisiyentli bir jinsli tenglamaga keladi.

Eslatma. (5.16) tenglamaga mos bir jinsli tenglamaning xususiy yechimlarini ( ) ko’rinishda izlanadi, va (5.17) ko’rinishdagi xarakteristik tenglama hosil qilinadi.