5-§. n-tartibli o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar

5-§. n-tartibli o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar.

5.1. Bir jinsli tenglamalar.

Quyidagi

(5.1)

tenglamani qaraylik,

bu yerda - haqiqiy o’zgarmas sonlar. Bu tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi aniqlansa, (5.1) tenglama umumiy yechimi (4.5) formula orqali yoziladi.

Quyida biz, fundamental yechimlar sistemasini qurishning Eyler¹ usuliga to’xtalamiz:

(5.1) tenglamaning xususiy yechimini

(5.2)

ko’rinishda izlaymiz, bu yerda - topish talab qilinadigan haqiqiy yoki kompleks son. (5.2) funksiyani (5.1) tenglamaga qo’yib,

(5.3)

algebraik tenglamani hosil qilamiz. (5.3) tenglamaga, (5.1) tenglamaning xarakterisik tenglamasi, uning yechimlariga esa xarakteristik sonlari deyiladi.

Demak (5.1) tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi va unga mos umumiy yechimi (5.3) xarakteristik tenglamaning ildizlariga (yechimlariga) bog’liq.

Quyidagi to’rtta holga bo’linadi: