5-§. n-tartibli o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar

1. Xarakteristik tenglamaning ildizlari turli va haqiqiy.

Xarakteristik tenglamaning ildizlarii bo’lsin, u holda (5.2) ga asosan fundamental yechimlar sistemasi unga mos umumiy yechim esa

(5.4)

ko’rinishda bo’ladi.

1-Misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish. Berilgan tenglama yechimini (5.2) ko’rinishda izlab, xarakteristik tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglama yechimlari, yani xarakteristik sonlari ga teng bo’lgan turli haqiqiy sonlardan iborat.

Demak berilgan tenglama umumiy yechimi, (5.4) ga asosan

bo’ladi.

2. Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va ular orasida karralisi ham bo’lsin.

Xarakteristik tenglamaning ildizlarii bo’lib, tasi karrali ya’ni , tasi turli bo’lsin. U holda funksiyalar chiziqli bog’liqli bo’ladi. Demak funksiyalarni, funksiyaga mos ko’rinishda chiziqli erkli bo’ladigan qilib tanlaymiz, ya’ni (5.1) tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi unga mos umumiy yechim esa

(5.5)

bo’ladi.