49. Isbotlang >50. 11 teorema 6 bandi tug’ri bo’lsa, quyidagini isbotlang

Masala1.

1. 
   (5,1,3) nuqtadan o’tuvchi va i + 4j – 2k vektorga parallel to’g’ri chiziqning vektor tenglamasi va parametr tenglamasini tuzing.
   
2. 
   To’g’ri chiziqda yotgan boshqa ikkita nuqta toping.
   

1. 
   Bu yerda r₀ = (5,1,3) = 5i + j + 3k va v = i + 4j – 2k, shunday qilib tenglama quyidagicha hosil bo’ladi
   

Yoki parametrik tenglama

2. 
   t ni 1 deb olsak x = 6, y =5 va z=1 ni beradi, (6,5,1) chiziqda nuqta, t = -1 nuqtani olsak (4,-3,5) nuqtani beradi.
   

Vektor tenglama va bir chiziq parametrik tenglamalar noyob emas. Biz nuqtasini yoki bir parametr o'zgartirish yoki boshqa parallel bo'lgan vektor tanlasak, so'ngra tenglamalar o'zgaradi. Agar misol uchun (5,1,3) o'rniga, biz o'rnak 1 nuqta (6,5,1) tanladik, keyin chiziq parametrik tenglamalari quyidagicha bo’ladi

Agar (5,1,3) nuqtada qolsak, lekin o’sha parallel 2i + 8j – 4k, biz quyidagi tenglamalarga erishamiz

Agar v vektor (a, b, c) L chiziqni tasvirlashda ishlatilsa, a,b,c raqamlar L ning yo’nalish raqamlari hisoblanadi. Har qanday v ga parallel vektor qo’llanilsa bo’lar ekan, boshqa a,b,c ga proportsional sonlar L ning yo’nalishini ifodalashda qo’llanilsa bo’ladi.

L ni tasvirlashni boshqa yo’li t ni tenglama 2dan olib tashlash. Agar a,b, yoki c ning birortasi 0 ga teng bo’lmasa, t uchun har bir tenglamani bir biriga tenglab ishlashimiz mumkin va quyidagida ega bo’lamiz

Bular L ning simmetrik tenglamasi deb hisoblanadi. Etibor bering, Tenglama 3 dagi a,b,c raqamlar L ning yo’nalishari hisoblanadi, qaysiki L ga parallel vektorning qiymatlari. Agar a,b,c ning birortasi 0 bo’lsa, haliyam biz tni olib tashlashimiz mumkin. Masalan, agar a = 0 bo’lsa, biz L ning tenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin.

Bu L chiziq x = x₀ tekislikdagi yotadi degan manoni bildiradi.

Masala 2

1. 
   A (2, 4, -3) va B(3, -1, 1) nuqtalardan o’tuvchi chiziqning parametrik va simmetrik tenglamalarini toping.
   
2. 
   Qaysi nuqtada chiziq xy – tekislikni kesib o’tadi.
   

Javobi

1. 
   Bizda vektorning to’g’ri chiziqqa parallel ekanligi berilmagan, lekin kuzatuvlar natijasida quidagilarga erishamiz
   

Bu yo’nalishning raqamlari a = 1, b = -5, c = 4. Agar (2,4,-3) ni P₀ deb olsak. Parametrik tenglamalar quyidagilarga teng ekanligi chiqadi.

va simmetrik tenglamalar

2. 
   Z = 0 bulganda chiziq xy – tekislikni kesib o’tadi. Z = 0 qilsak biz quyidagilarga erishamiz
   

Bizda , javoblari mavjud va shuning uchun to’g’ri chiziq xy – tekislikni

nuqtada kesib o’tadi.

Shunday qilib, masala 2 dagi muzokara L chiziqning yo’nalish raqamlari va P0(x0,y0,z0) va P1(x1,y1,z1) lar x-x0, y-y0, va z-z0 shuning uchun ham L ning simmetrik tenglamalari

Bazida bizga faqat chiziqni emas, balki chiziq segmentini tafsiloti kerak bo’ladi. Misol uchun, qanday qilib biz Masala 2 dagi chiziqni AB segmenti tasvirlay olamiz? Agar masala 2 dagi (a) savolda t = 0 qilib olsak, biz (2,4,-3) va t = 1 qilib olsak, (3,-1,1) nuqtalarga ega bo’lamiz. AB chiziq segmenti parametrik tenglamalar bo’yicha quyidagicha tasvirlanadi

Yoki,

Bizga masala 1dan malumki, r₀ vektori bo’ylab, v vektori yo’nalishi bo’yicha vektorning tenglamasi r = r₀ + t