|
Shakl: 5.3. Tizimning fazaviy portreti 5.17. "Markaz" tipidagi maxsus nuqta.
a - tizim parametrlari: e x = 4, g xy = 0.3, e y = g yx = 0.4
b - tizim parametrlari: e x = 2, g xy = 0.3, e y = g yx = 0.4
Bu erda x , h raqamlarning statsionar qiymatlaridan chetga chiqishi :
Tizimning xarakterli tenglamasi (5.18):
Ushbu tenglamaning ildizlari faqat xayoliydir:
...
Shunday qilib, tizimni o'rganish shuni ko'rsatadiki, singular nuqta yaqinidagi traektoriyalar konsentrik ellips bo'lib, singular nuqtaning o'zi markazdir. Ras c matrivaemaya Volterra modeli va singular nuqtadan uzoqda, traektoriyalarning shakli har xil ellipsoidal bo'lsa-da va tizim parametrlari bilan aniqlansa ham yopiq traektoriyaga ega (5.3-rasm).
Vaqtdagi o'lja va yirtqichlar sonining o'zgarishi dalgalanmalarni ifodalaydi va yirtqichlar sonining o'zgarishi o'ljalarning o'zgarishlar bosqichidan ortda qoladi.
4-ma'ruzada ta'kidlaganimizdek, markaz tipidagi singular nuqta Lyapunov barqaror, ammo asimptotik emas. Keling, bu qanday namoyon bo'lishini ushbu misol bilan ko'rsatib beraylik. X ( t ) va y ( t ) tebranishlar shunday bo'lsinki, vakili nuqtasi faza traektoriyasi 1 bo'ylab harakatlansin (5.3-rasm).
Nuqta M 1 holatida bo'lgan paytda tizimga tashqi tomondan ma'lum bir y sonli shaxslar qo'shiladi , masalan, ifodalovchi nuqta M 1 nuqtadan M 2 nuqtaga sakraydi . Agar bundan keyin tizim o'z ixtiyorida bo'lsa, x ( t ) , y ( t ) tebranishlar avvalgidan kattaroq amplituda paydo bo'ladi va vakillik nuqtasi traektoriya 2 bo'ylab harakatlanadi. Demak, tizimdagi tebranishlar beqaror: ular abadiy o'zgaradi tashqi ta'sir ostida ularning xususiyatlari.
Shakl: 5.4. Kanadada quyon va lyuks populyatsiyasining egri chiziqlari
(K. Villi, V. Detier, 1974 yildan keyin)
Keyinchalik, biz barqaror tebranish rejimlarini tavsiflovchi modellarni ko'rib chiqamiz va faza tekisligida bunday asimptotik barqaror davriy harakatlar chegara davrlari bilan tavsiflanganligini ko'rsatamiz .
Shakl. 5.4 Mo'ynali hayvonlar sonining tebranish egri chiziqlari, terilgan terilar soni bo'yicha Hudson's Bay kompaniyasi ma'lumotlariga ko'ra. Ko'p yillar davomida barcha klassik darsliklarda ushbu o'zgarishlarning tebranuvchi xususiyati biz ko'rib chiqqan Volterra modeli asosidagi farazlarning tasdig'i sifatida keltirilgan. Darhaqiqat, quyonlar (yirtqichlar) va lyukslar (yirtqichlar) sonining tebranish davri taxminan bir xil va taxminan 9-10 yilni tashkil qiladi. Bundan tashqari, quyonlarning maksimal soni, qoida tariqasida, eng ko'p lyukslar sonidan bir yil oldinda. Biz ob-havo bilan bog'liq tasodifiy omillar bilan murakkablashgan muntazam tebranishlarni ko'rayapmiz deb taxmin qilishimiz mumkin.
Biroq, ushbu kuzatuv ma'lumotlarini yana bir talqin qilish deterministik betartiblik modellari asosida mumkin. Ushbu turdagi diskret modellar haqida biz 3-ma'ruzada aytib o'tgan edik. Populyatsiya dinamikasining uzluksiz modellari, bu deterministik xaosga olib keladi, biz 9-maruzada ko'rib chiqamiz.
Ko'rib chiqilayotgan Volterra modelining jiddiy kamchiligi bu o'zgaruvchilar o'zgarishiga olib keladigan kichik tasodifiy ta'sirlarga nisbatan echimlarning beqarorligi. Bundan tashqari, ushbu tizimning "sustligi" tufayli tenglamalarning o'ng tomonlari (tizim parametrlari qiymatlari) shaklida o'zboshimchalik bilan kichik o'zgarish singular nuqta turining o'zgarishiga va natijada faza traektoriyalarining tabiatining o'zgarishiga olib keladi.
Tabiiy tizimlar juda ko'p tasodifiy ta'sirlarga duchor bo'lganligi sababli, realistik model ularga nisbatan barqaror bo'lishi kerak. Shuning uchun qo'pol bo'lmagan tizimlar tabiiy hodisalarning etarli tavsifini bera olmaydi.
Biz ko'rib chiqqan tizimning turli xil modifikatsiyalari, Volterraning o'zi va boshqa mualliflar tomonidan o'rganilgan, bu kamchiliklardan xoli. Ularning eng keng tarqalgani 9-ma'ruzada muhokama qilinadi. Bu erda biz ikkala populyatsiyaning o'sishida o'z-o'zini cheklashni hisobga olgan modelga e'tibor qaratdik. Uning misoli tizim parametrlari o'zgarganda echimlarning tabiati qanday o'zgarishi mumkinligini ko'rsatadi.
Shunday qilib, tizimni ko'rib chiqing:
(5.19)
Tizim (5.19) ilgari ko'rib chiqilgan tizimdan atamalarning o'ng tomonida joylashganligi bilan farq qiladi:
Ushbu a'zolar yirtqichlar sonining cheklangan oziq-ovqat resurslari, yashash joylari va boshqalar sababli yirtqichlar bo'lmagan taqdirda ham abadiy o'sishi mumkin emasligini aks ettiradi. Xuddi shu "o'zini o'zi cheklash" yirtqichlar populyatsiyasiga nisbatan qo'llaniladi.
Tizim ikkita statsionar echimga ega: nol va nolga teng bo'lmagan. Tahlillar shuni ko'rsatadiki, nolinchi yechim beqaror tugundir. Nolga teng bo'lmagan statsionar holat koordinatalarini beradigan algebraik tenglamalar tizimini ko'rib chiqing.
( 5 .20)
Statsionar echim:
Yagona nuqta atrofida chiziqli tizimning xarakterli tenglamasining ildizlari:
...
Xarakterli sonlar ifodasidan ko'rinib turibdiki, agar shart
keyin yirtqichlar va o'ljalarning soni o'z vaqtida susaygan tebranishlarni hosil qiladi. Tizimda maxsus nuqta bor - doimiy e'tibor.
Do'stlaringiz bilan baham: |
