4-ma'ruza: tabiatning fundamental qonunlari asosida tuziladigan modellar

4-MA'RUZA: TABIATNING FUNDAMENTAL QONUNLARI ASOSIDA TUZILADIGAN MODELLAR

Biologik tizimni umumiy shakldagi ikkinchi tartibdagi ikkita avtonom differentsial tenglama tizimi bilan tavsiflasin:

(5.1)
Tizim o'zgaruvchilarining statsionar qiymatlari algebraik tenglamalardan aniqlanadi:
(5.2)
Statsionar holatlar integral egri chiziqlarni aniqlaydigan birinchi darajali differentsial tenglamaning birlik nuqtalariga to'g'ri keladi:
(5.3)
Ushbu tizim traektoriyalarining faza tekisligidagi xatti-harakatlarini matematik tahlil qilish frantsuz matematikasi Anri Puankare va rus matematik va mexanigi Aleksandr Mixaylovich Lyapunov (1857-1918) ismlari bilan bog'liq.
Lyapunov shuni ko'rsatdiki, ko'p holatlarda chiziqli bo'lmagan tizimning statsionar holatining barqarorligini tahlil qilishni statsionar holat atrofida chiziqli tizim barqarorligini tahlil qilish bilan almashtirish mumkin.
Tizimning muvozanat holatidan ozgina chetga chiqishida o'zgaruvchilarning xatti-harakatlari xarakterini ko'rib chiqamiz. X, y o'zgaruvchilar o'rniga x , h yangi mustaqil o'zgaruvchilarni kiritamiz , ularni o'zgaruvchilarning muvozanat qiymatlariga nisbatan siljishlar deb belgilaymiz.
(5.4)
Ushbu iboralarni (5.1) ga almashtirib, quyidagilarni olamiz:
(5.5)
, chunki birlik sonining koordinatalari.
Faraz qilaylik, P va Q funktsiyalar uzluksiz va hech bo'lmaganda birinchi tartibli doimiy hosilalar mavjud. Keyin biz Teylor qatoridagi (5.5) tenglamalarning o'ng tomonlarini x , h o'zgaruvchilarida kengaytira olamiz .
(5.6)
Qaerda
(5.7)
Shaxsiy nuqta ta'rifi bilan buni hisobga olaylik

va (5.6) tenglamalarda chiziqli bo'lmagan atamalarni bekor qiling. Biz doimiy koeffitsientli chiziqli tenglamalar tizimini olamiz - birinchi taxminiy tizim:
(5.8)
Ushbu tizimning echimi 4-ma'ruzada muhokama qilingan. Bu tizimning xarakterli tenglamasining ildizlari bilan aniqlanadi:
(5.9)
Lyapunov agar tenglamaning ikkala ildizi (5.9) bo'lsa:
(5.10)
nolga teng bo'lmagan haqiqiy qismlarga ega, birinchi yaqinlashish (5.8) tenglamalarini o'rganish (5.1) tizimidagi muvozanat holatining barqarorligi turi haqidagi savolga doimo to'g'ri javob beradi. Aynan:
· Agar ikkala ildizlari bir bor salbiy real ishtirok va, shuning uchun, (5.8) parchalanishi, keyin birinchi yaqinlashishi tenglamalar barcha yechimlari muvozanat davlat barqaror emas;
· Agar kamida bitta root bir bor musbat haqiqiy qismini , deb tizimi (5,8) hal ortib bormoqda, keyin muvozanat holati beqaror.
Agar har ikkala ildizlarning real qismlari xarakterli Tenglama nolga teng yoki bir ildiz nolga teng va boshqa salbiy keyin, tenglamalar (5.8) bir bermaydi javob savolga muvozanat davlat barqarorlik , va bo'ladi uchun zarur bo'lgan yuqori tartibda shartlarini ko'rib o'ng tomonning Teylor seriyali kengaytirishdan smallness tenglamalar (5.6).
Holda ikkala ildizlari xarakterli Tenglama bo'lgan nol real qismi ( qo'pol bilan Istemi ), birinchi yondashuv tenglama qattiq-davlat barqarorlikni, balki etarli darajada kichik atrofida bosqich orbitalarda tabiatini nafaqat belgilanadi.
Chiziqli tenglamalarda bo'lgani kabi (4-ma'ruza), besh xil qo'pol muvozanat holatlari mavjud: barqaror tugun, beqaror tugun, barqaror fokus, beqaror fokus va egar. Muvozanat holatlarining turlarini o'rganish uchun rasmda ko'rsatilgan diagrammadan foydalanish qulay. 4.11. Tizim uchun (5.1):
, (5.11)
... (5.12)
S = D o'qi tashqarisida joylashgan s , D parametrlari tekisligining barcha nuqtalari va s = 0, D > 0 yarimaxisasi qo'pol muvozanat holatlariga to'g'ri keladi .
D = 0 o'qi va yarim = eksa nuqtalari s = 0, D > 0 qo'pol bo'lmagan muvozanat holatlariga to'g'ri keladi (qo'pol bo'lmagan yagona sonlar). Ularning xususiyatlari P (x, y), Q (x, y) va ularning hosilalari funktsiyalaridagi o'zboshimchalik bilan kichik o'zgarishlar tufayli (5.1) tenglamalarning o'ng tomonidagi o'zboshimchalik bilan kichik o'zgarishlar bilan o'zgarishi mumkin . Shu sababli, qo'pol bo'lmagan muvozanat holatlarining tabiati (xususan, barqarorlik) endi birinchi yaqinlashuv tenglamalarining o'ng tomonidagi koeffitsientlarning qiymatlari bilan belgilanmaydi (5.8). Lineer tizimlardan farqli o'laroq, hatto u erda joylashgan chiziqli bo'lmagan atamalarning o'ng tomonidagi kichik o'zgarishlar bilan ham, faza portretida sifatli o'zgarish bo'lishi mumkin - bifurkatsiya.