4-ma’ruza. Chiziqli algebraga kirish. Vektor va matrisalar bilan ishlash. Reja

2.1. Vektorni songa ko’paytirish
5-ta’rif. vektorning songa ko’paytmasi deb: 1) va 2) bo’lganda bo’lganda shartlarni qanoatlantiruvchi vektorga aytiladi, bunda -vektorlarning yo’nalishdoshligini, - vektorlar qarama-qarshi yo’nalganligini anglatadi.
Vektorning songa ko’paytmasi quyidagi xossalarga ega:

Bu xossalarning isbotlari planimetriyadagi shu kabi xossalarning isbotiga o’xshashdir.
tenglikni va vektorlar kollinearligining zaruriy va yetarli sharti sifatida qarash mumkin.

3. Fazodagi bazis haqida


Vektorning koordinatalari. Biz tekislikdagi bazisni kollinear bo’lmagan vektorlar jufti shaklida kiritgan edik. Unda har qanday uchinchi vektorni bazisning ikkita vektori orqali ifodalash mumkin bo’lgan edi.
Fazodagi vektorlarning yuqoridagiga o’xshash xossasini qarab chiqamiz. Fazoda uchta komplanar bo’lmagan vektorlar berilgan bo’lsin. Bunda ixtiyoriy to’rtinchi vektorni va vektorlar orqali ifodalash mumkinligini isbotlaymiz.
, vektorlarni umumiy nuqtaga keltiramiz (4.7-rasm). vektorlar komplanar bo’lmaganligidan vektorlar juftining har biri tekislikni aniqlaydi. uch orqali mos ravishda , va tekisliklarga parallel tekisliklar o’tkazamiz. Natijada prizmani hosil qilamiz. Vektorlarni qo’shish qoidasi bo’yicha

deb yozish mumkin. bo’lganligidan, ikki vektorning kollinearlik shartiga ko’ra, deb yozish mumkin. Shunga o’xshash, va munosabatlardan,
va
bo’lishi kelib chiqadi. Bu ifodalarni o’rniga keltirib qo’yib, vektor uchun
(1)
tenglikni hosil qilamiz.
(1) tenglik vektorning uchta komplanar bo’lmagan vektorlar bo’yicha yoyilmasi deyiladi. Bu holda vektorlar fazoda bazis hosil qiladi, deyishadi, koeffisiyentlar esa, vektorning bu bazisdagi koordinatalari deyiladi va u ( ) kabi yoziladi. (1) yoyilmadagi qo’shiluvchilar vektorning (1) yoyilmasini tashkil etuvchilar deyiladi.
Berilgan bazisda vektor yoyilmasining yagonaligini isbotlaymiz. vektorning (1) yoyilmasidan boshqa, yana koeffisiyentlari boshqa bo’lgan ,
(2)
yoyilmasi ham mumkin bo’lsin.
Modomiki, yoyilmalar har xil ekan, ularning koeffisiyentlari uchun

shartlardan hyech bo’lmaganda bittasi bajariladi. (1) tenglikdan (2) tenglikni ayirib,
(3)
munosabatni olamiz. (3) dan bo’lganda vektorni va vektorlar orqali quyidagicha ifodalash mumkin:
= (4)
Bunday yoyilma esa, faqat , , vektorlar komplanar bo’lganda mumkin bo’ladi, bu esa, , , vektorlarning komplanar emasligi shartiga ziddir. Demak, (3) tenglik, faqat va bo’lgandagina o’rinli bo’ladi. (1) yoyilmaning yagonaligi isbotlandi.