4 authors, including: Ablakul Abdirashidov Samarkand State University 109

3-taʼrif. Bir qadamli usul m-tartibli aniqlikdagi usul deb aytiladi (m – natural son, m1), agar toʻr yechimning xatoligi uchun quyidagi baholash oʻrinli boʻlsa:

i
max 

i 0,1,...,N

^Chm . (74)

Xususan, Eylerning oshkor usuli birinchi tartibli aniqlikka ega, Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullari esa ikkinchi tart- ibli aniqlikka ega.

13. 
    izoh. Yuqorida aytilganlarga koʻra, m-tartibli aniqlikka ega bir qadamli usullarni qurish masalasi h^m+1 tartibli lokal xatolikka ega usullarni qurish masalasiga olib kelinadi.
    
14. 
    izoh. Eylerning toʻgʻrilangan va modifikatsiyalangan usullari quyidagi hisob formulalariga ega guruhga kiradi:
    

y_{i 1}  y_i  hp₁ f (x_i , y_i )  p₂ f (x_i  h, y_i  hf (x_i , y_i )) _{, (75)}

bu yerda p₁, p₂,  - haqiqiy oʻzgarmaslar («usulning parametrlari»).

Xususan, Eylerning toʻgʻrilangan usuli uchun p ₁ = p ₂ = 1/2;  = 1, Eylerning modifikatsiyalangan usuli uchun esa p₁ = 0; p₂ = 1;  = 1/2.

3-teorema. (75) hisob formulali bir qadamli usulning lokal xatoligi

(73) baholashni qanoatlantirishi uchun uning parametrlari quyidagi tenglamalar sistemasini qanoatlantirishi zarur va yetarli:

p₁ + p₂ = 1; p₂ = 1/2. (76)

Isbot. Eylerning toʻgʻrilangan usulidagi kabi ((67) formulaga qarang) toʻr yechim (75) ni Teyler formulasi yordamida h ning darajalari boʻyicha yoyib chiqib, quyidagi yoyilmaga ega boʻlamiz:

y_{i 1}  y_i  hp₁ f (x_i , y_i )  p₂ f (x_i  h, y_i  hf (x_i , y_i )) _{, (77)}

bu yerda

  ^p2 f ''(^~x , ^~y ) ²  2 f

''(^~x , ^~y ) ² f  f

''(^~x , ^~y ) ² f ² _{. (78)}

i ₂ xx i i

xy i i

yy i i

Bu yerda

f , f_x ',

f _y '

orqali differensial tenglamaning oʻng tomoni va

uning (x_i,y_i) «baza» nuqtadagi, yaʼni atrofida Teylor boʻyicha yoyilma

yozilgan nuqtadagi birinchi hosilalari,

^~x , ^~y

- orqali esa baza nuqta va

i i
«qoʻzgʻalgan» nuqtani tutastiruvchi kesmaning oraliq nuqtalari koordinata- lari, yaʼni x va y oʻzgaruvchilari boʻyicha h, hf koordinat orttirmalariga ega nuqta belgilangan.

(77) yoyilmani (68) yoyilmadan ((75) yoyilma holida Eylerning toʻgʻrilangan usuli uchun xuddi shu koʻrinishdagi aniqlikka ega) ayirib, mos oʻxshashliklarga keltirib, (75) usulning lokal xatoligi uchun quyidagi ifodaga kelamiz:

 ⁽²⁾  1 p

 p  f  h  ^{ 1}  p

 ^f

' f

' f  h²  ¹ y ⁽ⁱ⁾ '''(x  

 h)  

^{ h3} . (79)

i 1

1 2 ^

_ 2

2 ^ x y

_ 6

i i i

Agar (76) shart bajarilsa, u holda (79) tenglikning oʻng tarafidagi h boʻyicha birinch va ikkinchi tartibgacha kichiklikka ega hadlar yoʻqoladi va lokal xatolik h boʻyicha uchinchi tartibgacha kichiklikka ega had bilan mos keladi. Eylerning toʻgʻrilangan usulidagi kabi koeffitsientning absoly- ut miqdorini (72) va (78) formulalar yordamida baholab, (73) tengsizlikka kelamiz.

Agar (76) shartlardan birortasi bajarilmasa, u holda (79) lokal xatolik h boʻyicha uchinchidan kichik tartibga ega va shuning uchun (73) tengsizlik oʻrinli boʻla olmaydi.

15. 
    izoh. 3-teoremaga va 13-izohga koʻra (76) shart bajarilganda (75) hisob formulali usul ikkinchi tartibli aniqlikka ega boʻladi.
    
16. 
    izoh. p ₂ parametrning nol qiymati (76) tenglamaning oʻng tomonini qanoatlantirmaydi. Bu holni chiqarib tashlab, shu tenglamadan  ning p₂ parametr orqali ifodasiga kelamiz. Bunda tashqari (76) tenglaman- ing chap tomoni p ₁ parametrni p₂ parametr orqali ifodalash imkonini be- radi. Bu ifodalarni (75) ifodaga qoʻysak, quyidagi ikkinchi tartibli aniqlik- ka ega bir parametrli hisob formulalari oilasiga kelamiz:
    

^^h h ^^ ^(1 p ) f (x , y )  p f ^x  , y  f (x , y )^^
 	i i 2 i 	2 p	i	2 p	i i  2 

y_{i 1}  y_i  h _{2 .}

2

Bu yerda p ₂ parametrga noldan farqli biror fiksirlangan haqiqiy qiymat berib, bu oilaning aniq hisob formulasini hosil qilamiz.

15. 
    izoh. (75) toʻr yechimni geometrik jihatdan topishda Eylerning toʻgʻrilangan usulini oʻrganishda tavsiflangan qurish uslubidan foydalanish mumkin (4-lemmaga va undan oldingi fikrlarga qarang). Faqatgina farq shundaki, bunda kenglikning ikkinchi urinma oʻtkaziladigan nuqtasi sifati-
    

da ^(x_i ^{ h, y}_i ^{ hf (x}_i ^{, y}_i ⁾⁾ nuqta olinadi, urinmalar burchak koeffitsiyen-

larining oʻrta arifmetigi qiymati sifatida esa ularning oʻrta algebraik qiymat, yaʼni quyidagi chiziqli kombinatsiya qiymati olinadi:



bu yerda p₁ + p₂ =1.

tg

p₁tg₁

p₂tg_{2 ,}

15. 
    izoh. (75) usullar Runge-Kutta usullari oilasiga kiradi va (76) shartlar bajarilganda ular ikkinchi tartibli aniqlikka ega usullar qism oilasini tashkil etadi. Bu usulning gʻoyasi 1885 yilda Karl Runge tomoni- dan kiritilda va 1901 yilda Vilgelm Kutta tomonidan rivojlantirildi. Bu bir qadamli usullarning keng oilasi yuqori tartibli aniqlikka ega usullarni (bu usullarning baʼzilari uchinchi va baʼzilari esa toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega) ham oʻz ichiga oladi.
    

Uchinchi tartibli aniqlikka ega usul algoritmining (i+1)-qadamida quyidagi miqdorlar ketma-ket hisoblanadi:

k  f (x , y ), k

 f (x

• 
  ^h , y  ^h k ), k
  

 f (x

• 
  h, y  hk  2hk ),
  

(80)

1 i i 2

i ₂ i ₂ 1 3

i i 1 2

buning geometrik nuqtai nazardan maʼnosi shuki, bu miqdorlar differensial tenglama yechimining grafigiga (x_i,y_i) nuqtada oʻtkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini va (80) ifodaning ikkinchi va uchinchi oʻrnida turgan kengliklar nuqtalarining koordinatalarini ifodalaydi. Shundan keyin x_i+1 tugundagi toʻr yechim quyidagi formula bilan hisoblanadi:

y  y

• 
  ^h (k
  

• 
  4k
  

^{ k )} . (81)

i 1

i ₆ 1 2 3

Bu geometrik nuqtai nazardan shu maʼnoni bildiradiki, (x_i,y_i) nuqta

orqali oʻrtalashtirilgan koeffitsiyentlari

1 _, 4 _, 1

6 6 6

boʻlgan (80) algebraik

oʻrta miqdoriga teng burchak koeffisiyentli toʻgʻri chiziq oʻtkaziladi va x_i+1 tugundagi toʻr yechim sifatida bu toʻgʻri chiziqning x _i+1 tugun orqali ordi- nata oʻqiga parallel ravishda oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtas- ining ordinatasi olinadi.

Toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega usul algoritmining (i+1)-qadamida dastlab quyidagi miqdorlar hisoblanadi:

k  f (x , y ), k

 f (x

• 
  ^h , y  ^h k ),
  

1 i i 2

i ₂ i ₂ 1

k₃ 

f (x_i

• 
  ^h , y
  

₂ i

• 
  ^h k ), ₂ 2
  

k₄ 

f (x_i

• 
  h, y_i
  

 hk₃ ),

(82)

keyin esa toʻr yechim quyidagi formuladan topiladi:

y  y

• 
  ^h (k
  

• 
  2k
  
• 
  2k
  

^{ k )} . (83)

i 1

i ₆ 1 2 3 4

15. 
    izoh. Olingan toʻr yechimning aniqligini nazorat qilish xatolikni taqribiy baholashning Runge qoidasi yordamida amalga oshiriladi (bu qoida bilan aniq integrallarni taqribiy hisoblashda tanishilgan). Koshi ma-
    

salasini bir qadamli usullar bilan taqribiy yechishda bu qoidadan quyidagi tartibda foydalaniladi.

Faraz qilaylik,

^yN ,h <sup>,

y</sup>2 N ,h / 2

– m-tartibli aniqlikka ega usul yordamida

integrallash kesmasining oʻng oxirida toʻrning mos h, h/2 qadamlarida hisoblangan toʻr yechimlar boʻlsin. Bu yechimlar uchun quyidagi tenglik oʻrinli:

 ^h m

y(x  L)  y

 ch^m  o(h^m ),

y(x

• 
  L)  y
  

 c_{ }  o(h^m ) _{. (84)}

0 N ,h

0 2 N ,h / 2

 ² 

bu yerda c – (84) formulalarning har ikkalasi uchun ham bir xil va h dan bogʻliq boʻlmagan oʻzgarmas; o(h ^m) – bu h ^m ga nisbatan kichik boʻlgan yuqori tartibli kichliklikka ega miqdor.

Qaralayotgan yechim xatoligining bosh hadlarini topish uchun (84) tenglikdan foydalani boʻlmaydi, chunki unga kiruvchi aniq yechimning

y(x₀ L)

qiymati bizga maʼlum emas. Ammo, birinchi tenglikni ikkin-

chisidan ayirib tashlasak, u holda quyidagi munosabatga ega boʻlamiz:

 ^h m

c_{ } (1 2^m )  y  y  o(h^m ) _{. (85)}

 ² 

N ,h

2 N ,h / 2

bu yerdan esa yuqori tartibli kichiklikka ega hadni tashlab yuborib,

^yN2h , / 2

 y  y
toʻr yechim xatoligining bosh hadi uchun quyidagi taqribiy ifodasiga ke- lamiz:

 ^h m

^c 

2

_ 1

2^m 1

2 N ,h / 2 N ,h

. (86)

 

Agar (86) oʻng tomonining moduli toʻr yechimning absolyut xatoligi uchun mumkin boʻlgan limitik qiymatidan oshib ketmasa, u holda hisob toʻxtatiladi va integrallash oraligʻidagi taqribiy yechim sifatida h/2 qadam bilan hisoblangan toʻr yechim qabul qilinadi. Aks holda esa yuqorida tavsiflangan prosedura h/2, h/4 va hokazo qadamlar uchun takrorlanadi.

Shuni taʼkidlaymizki, Runge qoidasi boʻyicha xatolikni baholashda kesmaning oxiri shu kesmaning ixtiyoriy nuqtasi (masalan, kesmaning oʻrtasi) bilan almashtirilishi mumkin; h qadam sunday tanlanadiki, bunda shu nuqta toʻrning tuguni boʻlib chiqishi kerak.

15. 
    izoh. Yuqorida chiqarilgan fikrlar toʻr yechimni koʻrsatish va uni hosil qilishni aniqlashtirishning uslublarini ochib beradi.
    

Aynan, agar (85) tenglikdanc(h/2) ^m ni ifodalab olsak va uning na- tijasini (84) formulalardan ikkinchisiga qoʻysak, u holda quyidagi tenglikka ega boʻlamiz:

y(x₀

 L)  ^ y




2 N ,h / 2

_ 1

2^m 1

2 N ,h / 2

• 
  ^yN ,h
  

^  oh^m _,





y
bu shuni bildiradiki, katta qavs ichidagi miqdor

y(x₀ L)

uchun

^yN2h ,

_{/ 2} ga

nisbatan eng yaxshi yaqinlashish, chunki bu miqdorning xatoligi o(h ^m) tartibli cheksiz kichiklikka ega, u holda toʻr yechimning xatoligi ham o(h^m) tartibga ega.

Toʻr yechimni bunday aniqlashtirish uslubi 1910 yilda ingliz geofizigi L.Richardson tomonidan taklif etilgan boʻlib, u Richardson boʻyicha aniqlashtirish yoki Richardson ekstrapolyatsiyasi deb ataladi.

15. 
    izoh. Runge-Kutta usullari nafaqat Koshi masalasini yechishda, balki birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi uchun yozilgan chegaraviy masalalarni yechishda ham qoʻllanilishi mumkin. Bunda che- garaviy masalani yechish qoidalari o'q otish usuli deb ataluvchi Koshi ma- salasini ketma-ket yechish usuliga keltiriladi.
    

Masalan, ushbu

y₁'(x) 

f₁(x, y₁(x), y₂ (x)),

y₂ '(x) 

f₂ (x, y₁(x), y₂ (x)),

x₀  x  x_o  L,

(87)

( ) ,

y₁( x₀

)

y₂ x₀  L

^ , (88)

xuddi shu differensial tenglamalar sistemasi uchun ushbu

( ) ,y₁

x₀(

)

y₂ x₀

^{ } , (89)

boshlangʻich shartli Koshi masalasi qaraladi. (89) dagi ikkinchi bosh- langʻich shartning oʻng tomonidagi  shunday tanlanadiki, bunda y ₂() yechim Koshi masalasini (88) ning ikkinchi chegaraviy sharti boʻyicha qanoatlantirsin:

( y₂

x₀, )L   _;

bularga koʻra y₁() va y₂() yechimlar chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimlari boʻladi.

Absrakt nuqtai nazardan  ni tanlash masalasi quyidagi funksiyaning ildizini topish masalasidir:

( ) (

,)

 y₂

x₀  L 

 _.

Bu tenglamani yechish uchun oraliqni teng ikkiga boʻlish usulidan foydalanamiz. Bu maqsadda ₁, ₁ (₁< ₁) qiymatlar shunday tanlanadiki, [₁, ₁] kesmaning oxirlarida Ф funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qilsin. Bu hoda Ф funksiyaning uzluksizligidan (faraz qilamizki, Koshi masalasi yechimining boshlangʻich shartlarning oʻng tarafidan bogʻliqlik ifodasi uzluksiz boʻlsin) bunday kesma izlanayotgan ildizni oʻz ichiga oladi. Kesmani ₁ nuqta bilan teng ikkiga boʻlamiz va [₁,₁] ,[₁,₁] kesmalardan birini shunday tanlaymizki, tanlangan kesmaning oxirlarida

Ф funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qilsin. Tanlangan kesmani [₂,

₂] kesma deb belgilab, uni ₂ nuqta bilan teng ikkiga boʻlamiz va hokazo. Bu jarayonning qaysidir bir qadamida [_n, _n] kesmaning uzunligi ildizni topishning mumkin boʻlgan xatoligidan kichikligi kelib chiqsa, hisob ja- rayoni toʻxtatiladi va oxirgi kesma _n ning oʻrtasi izlanayotgan  ning qiymatiga yaqinlashish sifatida deb qabul qilinadi.

 ()

⁰ tenglamani yechishning boshqa usullari bilan tavsiya etilgan

adabiyotlar orqali tanishish mumkin.

Quyida bir qadamli usullarning yana bir guruhi – yechimni Teylor qa- toriga yoyish usullari bilan tanishaylik.

Bunday usulning gʻoyasini ikkinchi tartibli aniqlikka ega usul misol- ida tushuntiraylik.

Berilgan differensial tenglamaning y ⁽ⁱ⁾ yordamchi yechim uchun chiqarilgan (62) Teylor yoyilmasini qaraymiz, undagi uchinchi tartibli kichiklikka ega hadni tashlab yuboramiz va hosil boʻlgan miqdorni x _i+1 tugundagi toʻr yechim deb qabul qilamiz. Boshqacha qilib ayganda, quyidagini yozamiz:

y  y⁽ⁱ⁾ (x )  y⁽ⁱ⁾ '(x )h  ¹ y⁽ⁱ⁾ ''(x )h² _.

i 1 i

i ₂ i

Bu yerda y⁽ⁱ⁾ funksiyaning va uning x_i nuqtadagi hosilalarinining qiymatini

(63) va (65) formulalar yordamida almashtirib, quyidagi hisob formulasiga kelamiz:

y  y

 hf (x , y )  ¹ f '(x , y )  f

'(x , y ) f (x , y )h² _.

i 1 i

i i ₂ x i i

y i i i i

Analitik nuqtai nazardan chiqarilgan fikrlar shuni anglatadiki, [x_i,x_i+1] kesmada y ⁽ⁱ⁾ yordamchi yechimni ikkinchi tartibli hosilasi y ⁽ⁱ⁾ yordamchi yechimning x _i nuqtadagi hosilasi bilan mos keluvchi ikkinchi tartibli koʻphad bilan almashtirni anglatadi, geometrik nuqtai nazardan esa bu y ⁽ⁱ⁾ yechimning grafigini grafigi (x_i,y_i) nuqtadan oʻtuvchi, shu nuqtada y ⁽ⁱ⁾ umumiy yechim bilan bir xil urinmaga va bir xil egrilik radiusiga (bunday holda ikkita egri chiziqning oʻzaro urinishi «ikkichi tartibli urininsh» deb taladi) ega parabola bilan almashtiriladi. Bunda y _i toʻr yechim sifatida bu koʻphadning x = x _i+1 nuqtadagi yoki geometrik atamada - bu x_i+1 tugundan oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziqning shu parabola bilan kesishish nuqtasining ordinatasi qabul qilinadi.

Bu m-tartibli aniqlikka ega usulga oʻxshash usulning hisob formulasi differensial tenglamaning oʻng tomonidagi f funksiyaning (m-1)- tartibgacha hosilalarini oʻz ichiga oladi. Bu hosilalarning x _i nuqtadagi

qiymatlarini hisoblash algoritmning (i+1)-qadamidagi assosiy hisoblash- larni tashkil qiladi. m-ning oshib borishi bilan bu hosilalarning soni tez oʻsib boradi, usul ham shuncha murakkablashadi, ammo yechimni Teylor qatoriga yoyish usuli bu maʼnoda xuddi shu tartibli Runge-Kutta usulidan ustun emas. Shuning uchun amaliyotda yechimni Teylor qatoriga yoyish usulidan nisbatan kam foydalaniladi.

1-misol. Ushbu
y^  2y  x ²  1_{, y(0) = 1}

Koshi masalasining [0; 1] kesmadagi sonli yechimini Eyler usuli bilan top- ing.

Yechish. Bunda n = 10 deb olamiz, u holda h =(1-0)/10 = 0,1. Berilgan differensial tenglamani kanonik koʻrinishda yozib olamiz:

  y^

f (x, y)

1 2y- x ²

Boshlangʻich nuqta: x₀ = 0, y₀ = 1. Dastlabki x₁ nuqta uchun hisoblashlar:

y₁  y₀

• 
  h  f(x₀
  

; y₀

) 1 0,1 f(0;1) 1 0,1 (1 21 0² ) 1 0,1 3 1,3

x₁ = x₀ + h = 0 + 0,1 = 0,1

Keyingi x₂ nuqta uchun hisoblashlar

y₂  y₁  h  f(x₁; y₁ )  1,3  0,1f(0,1;1,3) 

1,3  0,1(1 2,6  0,01)  1,3  0,1 3,59  1,659

x₂  x₁  h  0,1 0,1  0,2

Yana qolgan sakkizta nuqta uchun xuddi shunday hisoblashlarni baja- rishimiz mumkin, chunki, n = 10 deb tanlab olingan.

Maple dasturida Eyler usuli bilan olingan natijalar (11-rasm):
>

>





>

Agar aniqlikni yanada oshirish lozim boʻlsa, u holda:


_ d Euler_{ dt}

y(t)  1  2  y(t)  t

² , y(0)  1, t  1, output 

plot, numsteps  ^


50_;


11-rasm. Maple dasturida Eyler usuli bilan olingan natijalar grafigi.