4 authors, including: Ablakul Abdirashidov Samarkand State University 109

3-xulosa. Algoritmning (i+1)-chi qadamida x _i+1 tugunda topilgan y _i+1 toʻr yechimning xatoligi (32) yigʻindi boʻlib, bu (33) va (34) larning yigʻindisidan tashkil topgan, ularning birinchisi algoritmning oldingi qadamlarida yoʻl qoʻyilgan lokal xatoliklar taʼsirini ifodalaydi, ikkinchisi esa (i+1)-chi qadamdagi lokal xatolik.

Endi lokal xatolikni baholaylik.

2-lemma. Eyler oshkor usulining (i+1)-chi qadamdagi lokal xatoligi uchun quyidagi ifoda oʻrinli:

 ⁽²⁾  ¹ y⁽ⁱ⁾ ^x   hh² , 0  

 1 . (35)

i1 ₂ i i i


i1
Isbot. (34) formuladagi ^{y(i ) (x} _ ⁾ miqdorni Teylor formulasi boʻyicha

yoyamiz, ^y

1^mi

iqdorni esa (12) – Eylerning oshkor usuli formulasiga koʻra

almashtiramiz. Natijada quyidagiga ega boʻlamiz:

 ⁽²⁾  ^ y⁽ⁱ⁾ (x )  y⁽ⁱ⁾ ^(x )h  ¹ y⁽ⁱ⁾ ^x

  hh^{2 }  y

 hf (x , y ),

(36)

i1 ^ i



i ₂ i i ^ i i i


bu yerda _i – nol va bir orasidagi haqiqiy son. (15) va (16) ga koʻra

y⁽ⁱ⁾ (x )  y , y⁽ⁱ⁾ ^(x )  f (x , y⁽ⁱ⁾ (x ))  f (x , y ).

(37)

i i i i i i i

Bu qiymatlarni (36) ga qoyib, oʻxshash hadlarni ixchamlasak, (35) kabi ifodani beradi.

1-natija. Ixtiyoriy i = 0, 1, …, N–1 lar uchun quyidagi baholash

oʻrinli:


(2)

i1

 ¹ M

₂ 2

• 
  M ₃ M₁
  

h² ,

(38)

bu yerda M₁, M₂, M₃ – (29)-(31) shartlardagi oʻzgarmaslar.

Isbot. (35) ifodadan quyidagiga ega boʻlamiz:

_ (2)

 ¹ y⁽ⁱ⁾ ^x

  hh² .

(39)

i1 ₂ i i

Bu munosabatga kiruvchi y⁽ⁱ⁾ yordamchi yechimning ikkinchi hosilasi modulini baholaylik.

(15) tenglikni x boʻyicha differensiallaymiz, keyin esa shu tenglikdan yana bir bor foydalanib, quyidagiga ega boʻlamiz:

^{y(i) x  f x, y(i) x f x, y(i) x y(i) x  f x, y(i) x f x, y(i) x f x, y(i) x}.

x y x y

Bu yerdan (29)-(31) shartlarga koʻra ixtiyoriy x[x₀, x₀+L] uchun quyidagi tengsizlik oʻrinli ekanligi kelib chiqadi:

2
y⁽ⁱ⁾     M

M₃M₁

Bu tengsizlikda

x  x_i  _ih

deb olib va natijani (39) tenglik bilan

solishtirib, (38) tengsizlikka kelamiz.

4-xulosa. Ixtiyoriy i = 0, 1, …, N–1 lar uchun quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi:



( 2)

1i

lokal xatolik


(2)

i1

 Mh² ,

(40)

bu yerda M – oʻzgarmas boʻlib, M ₁, M₂, M₃ lar orqali quyidagicha ifodala- nadi:

M = (M₂+ M₃M₁)/2. (41)

Boshqacha qilib aytganda, barcha lokal xatoliklarning moduli h boʻyicha ikkinchi tartibli kichiklikka ega cheksiz kichik miqdor bilan baholanadi.

Endi jamlangan xatoliklarni tadqiq qilishga oʻtaylik.

Maʼlumki, yuqorida aytib oʻtilganidek,

(1)


1i

xatolik x _i tugundagi toʻr

yechimning noldan farqli _i xatoligi tufayli paydo boʻladi, shuning uchun


(1)

1i

xatolikni _i xatolik orqali ifodalashga harakat qilaylik. Shuni

taʼkidlaymizki, _i xatolik (1) differensial tenglamaning x _i nuqtadagi ikkita

y va y⁽ⁱ⁾ yechimlari orasidagi farq,

(1)


1i

miqdor esa xuddi shu yechimlarning

x_i+1 nuqtadagi farqi (9-rasm). Shuning uchun differensial tenglamalar naz- ariyasidagi quyidagi dalilga tayanamiz.

3-lemma. Faraz qilaylik, y ^I, y ^II – berilgan (1) differensial tenglaman- ing ikkita yechimi, ,  ( < ) – berilgan [x ₀, x ₀+L] kesmaning ikkita nuqtasi boʻlsin (10-rasm). U holda bu yechimlarning ,  nuqtalardagi farqi quyidagi munosabat bilan bogʻlangan:

   

_{ }  ^ _{ } 

y ^I (

)  y ^II ( )  y ^I (

)  y ^II ( )  exp^_ f (x, y(x))dx^ _{, (42)}

y

 ^ 

bu yerda

y^(x )

– ikkita y^I(x), y^II(x) yechimlarning oraliq qiymati.

Isbot. Faraz qilaylik, ushbu

z(x) = y^I(x) – y^II(x) (43)

miqdor bu yechimlarning farqi boʻlsin. Bu miqdor qaysi differensial tenglamani qanoatlantirishini aniqlaylik.

(43) dan hosila olamiz, oʻrniga qoʻyishlardan keyin quyidagiga ega boʻlamiz:

z (x) = f(x,y^I(x)) – f(x,y^II(x)). (44) Bu tenglikning oʻng tarafiga Lagranjning chekli orttirmalar formu-

lasini y oʻzgaruvchi boʻyicha qoʻllaymiz, natijada:

f(x,y^I(x)) – f(x,y^II(x)) = f_y(x, y^(x ) )( y^I(x) – y^II(x)). (45)

(45) va (43) formulalarni hisobga olib, (44) formuladan quyidagi tenglikni keltirib chiqaramiz:

z (x) = c (x)  z (x) , (46)

bu yerda c (x) funksiya oqrali quyidagi funksiya belgilangan:

c (x) = f_y (x, ^{y(x )} ) , (47)

y^I, y^II yechimlarni har xil deb hisoblaylik (agar ular oʻzaro mos boʻlsa

(42) tenglikning toʻgʻriligi koʻrinadi). Aslida bu yechimlarning qiymatlari [, ] kesmaning biror nuqtasida ham mos tushmaydi, chunki agar y^I(x_*) = y^II(x_*) = y_* tenglik oʻrinli boʻlganda edi, qaralayotgan differensial tenglama bilan berilgan Koshi masalasi ushbu y(x_*) = y_* boshlangʻich shartda ikkita har xil yechimga ega boʻlgan boʻlardi, bu esa berilgan tenglamaning oʻng tarafiga nisbatan farazimizga zid boʻlib chiqadi. Natijada (43) ifoda nolga aylanmaydi, shuning uchun, birinchidan, (46) tenglikni quyidagicha yozib olish mumkin:

^z(x)  c(x) _{, (48)}

z(x)

ikkinchidan, c(x) uchun (47) ni (45) yordamida quyidagicha yozish mum- kin:

f (x, y ^I (x))  f (x, y ^II (x))

( y ^I )^(x)  ( y ^II )^(x)

c(x) 

y ^I (x)  y ^II (x)

^ y ^I (x)  y ^II (x) ^.

Bu yerdagi c(x) funksiyanig uzluksizligi haqida xulosa chiqarish uchun ikkita uzluksiz funksiyalar nisbatidagi maxraj nolga aylanmasligi lozim.

Oxirgi xulosa (48) differensial tenglamaning har ikkala tarafidan [ ,

] kesma boʻyicha aniq integral olishga imkon beradi, natija quyidagi tenglikni beradi:

^ z^(x) ^





_{ z(x)} dx _ c(x)dx _.

Chap tarafdagi integralni z oʻzgaruvchi boʻyicha integral deb yozish mum- kin (haqiqatdan ham, integrallash oʻzgaruvchilarini almashtirish orqali):

z (  ) _dz 

z


z ( )

_ c(x)dx _.



Bu integralni Nyuton-Leybnits formulasi boʻyicha hisoblab, quyidagi tenglikka kelamiz:

yoki

ln ( )

ln ( )

( z)

 z 

z( ) ^



 _ c



x dx

ln

z( )

 _ c(x)dx _,



bu yerda z funksiya musbat, aks holda y ^I, y ^II yechimlar teskari nomer- lanadi.

Bu yerdan logarifning taʼrifiga koʻra quyidagi munosabatga kelamiz:

z( ) ^{  }

_{z( )}  exp^_ c(x)dx^

yoki

 ^ 
 ^ 

( ) (

) exp

( z)

 z  

_{ c}

 ^

x dx^ _.



Bu esa (43) va (47) larga koʻra (42) ni beradi.

2-natija. (i+1)-chi qadamning

(1)


1i

jamlangan xatoligi x _i tugundagi y _i

toʻr yechimning _i xatoligi orqali quyidagi tengsizlik bilan baholanadi:


(1)

i1

 exp(M

₃h)  _i

, (49)

bu yerda h – toʻr qadami, M₃ – (31) shartdan olingan oʻzgarmas.

Isbot. (42) formulada y ^I, y ^II yechimlar sifatida izlanayotgan y yechimni va y ⁽ⁱ⁾ yordamchi yechimni, ,  sifatida esa x _i, x_i+1 tugunlarni qabul qilaylik. Maʼlumki, bu yechimlarning x _i tugundagi farqi y _i toʻr yechimning _I xatoligiga teng, shu yechimlarni x _i+1 tugundagi farqi esa

(i+1)-chi qadamning ega boʻlamiz:

(1)


1i

jamlangan xatoligi. (42) formuladan quyidagiga

i1 i








^{ y}  

_ (1) _{ }

 exp^ f

 ^

(x, y(x))dx^ _.



Bu yerdan absolyut miqdorlarga oʻtamiz, eksponentaning musbat

ekanligidan,


_ ^xi1 _{  }

(49) baholash uhbu

(1)





i1

 _i

 exp^ _

 ^xi

f _y (x, y(x))dx^ _.



^xi1