4 authors, including: Ablakul Abdirashidov Samarkand State University 109

[x0, y0, y'0, y''0,…],

bu yerda

x0  boshlangʻich shartlar beriladigan nuqta;

y0  berilga x0 nuqtada izlanayotgan funksiyaning qiymati;

y'0, y''0,…  berilga x0 nuqtada izlanayotgan funksiyaning birinchi, ikkinchi va hokazi (n1)-tartibli hosilalari qiymatlari.

Muammoni oydinlashtirishni mashqlarda bajarib koʻraylik va quyidagi tadbiqlarni bajaraylik:

2. 
   misol. Quyidagi chegaraviy masalaning yechimi grafigini quring:
   

x[4,5]

intervaldagi

• 
  y' y
  

_yex / 2 _,

y(0)

^{9 / 4} .

Yechish. Masalaning analitik va sonli yechimi quyidagicha:

• 
  Eq:=diff(y(x),x)+y(x)=sqrt(y(x))*exp(x/2); ics:=y(0)=9/4; dsolve({Eq,ics});
  

 ^x 

_d  ₂ 

:= ^_Eq yy(x(x ) )^_ ^{ }

_{ dx} _

:= ics  ⁹

y( 0 )

4

_ x _ ²

_ x <sub>

</sub> x <sub>

</sub> x _ ²

₁  _{ 2 } 

 ₂ 

 ^ ₂ 

 _ ^ _{2 } 


y(x ^)e^

4

 _

_e _ _e

 _{ e}

 _

Endu shu masalani DEplot yordamida sonli yechamiz (17-18-rasmlar):

• 
  Eqs:=diff(y(x),x)+y(x)=sqrt(y(x))*exp(x/2): icsc:=y(0)=9/4:
  

with(DEtools): DEplot(Eqs,y(x),x=-1..2.5,y=0..5,{icsc}, linecolor=black,stepsize=0.05,color=black);

16. 
    rasm. Chegaraviy masalaning
    

x[4,5]

intervaldagi yechimi grafigi.

16. 
    rasm. Chegaraviy masalaning
    

^{x[1; 2,5]} intervaldagi yechimi va yoʻnalishlari maydoni grafigi.

3-misol. Quyidagi chegaraviy masalani sonli yeching va na- tijalarning grafigini quring:

y'2 y  e^x _,

^{(0)y 1} .

Yechish: Masalaning sonli yechimi (19-rasm):

• 
  restart; with(DЕtools): with(DEtools): DEplot(diff(y(x),x+2*y(x)=exp(- x),y(x),x=-3..4,[y(0)=1],y=-
  

16. 
    rasm. Koshi masalasining
    

^{x[3; 4]} kesmadagi sonli yechimi

4..10,stepsize=.005);
4-misol. Ushbu

va yoʻnalishlari maydoni grafigi.

y' = cos(y)+t , y(1)=2

Koshi masalasini Eyler va Runge-Kutta usullari yordamida Maple matematik paketida t[1;3] oraliq uchun sonli yeching.

Yechish. Eyler usuli uchun dastur matni, sonli hisob natijasi grafigi va uning analitik yechim grafigi bilan taqqoslanishi quyidagicha (20-rasm):

>

>




>

Runge-Kutta usuli uchun dastur matni va sonli hisob natijasi grafigi va

uning analitik yechim grafigi bilan taqqoslanishi quyidagicha (21-rasm):

>

• 
  
  ^ dt
  RungeKutta^{ d}
  



• 
  
  ^ dt
  RungeKutta^{ d}
  



y(t)  t  cos(y(t)), y(1)  2,t  3, submethod  rk4^;





4.468



y(t)  t  cos(y(t)), y(1)  2,t  3, submethod  rk4, output  plot^;



Agar aniqlikni yanada oshirish lozim boʻlsa, u holda:

R g K tt ^{ d}

• 
  _ dt
  

y(t)
p

t 

pl t

(y(t)), y( )

t p

2 t 3

20;

b th d

rk4

16. 
    rasm. Maple dasturida Eyler usuli bilan olingan natijalarning aniq yechim bilan taqqoslangan grafigi.
    

16. 
    rasm. Maple dasturida Runge- Kutta usuli bilan olingan natijalarn- ing aniq yechim bilan taqqoslangan grafigi.
    

5. 
   misol. Ushbu
   

y' = -y² (1+2t) , y(0)=2

Koshi masalasini analitik usulda, Eyler va Runge-Kutta usullari yordamida Maple matematik paketida t[0;1] oraliq uchun yeching.

Yechish. Masalani dastlab Maple dasturida analitik usulda yechamiz:

>

>











>


^>

Endi masalani Eyler usuli yordamida sonli yechish Maple dasturi va uning natijasini keltiramiz:
Ana shu analitik va sonli yechimlar natijalarini grafikda taqqoslaymiz (21-rasm):

Maple dasturining Eyler usuli standart funksiyasi uchun dastur matni, sonli hisob natijasi grafigi va uning analitik yechim grafigi bilan taqqoslanishi quyidagicha (22-rasm):

22-rasm.

21-rasm.

Masalani Runge-Kutta usuli bilan sonli yechamiz:














_23-rasm. 24-rasm.

21-22- va 23-24-rasmlardan ko’rinib turibdiki, aniqlik Runge-Kutta usulida yuqori.

Shinday qilib, sonli hisob jarayonida quyidagi natijalarga kelindi:

• 
  qoʻllanilgan bir qadamli usullar yetarlicha aniqlik uchun kam vaqt sarflaydi hamda bu usullar uchun yagona shart yetarli;
  
• 
  qadamning qiymati yechimning aniqligi va tezligiga muhim taʼsir koʻrsatadi;
  
• 
  bir qadamli usullarda hisoblash jarayonida hisob qadamini
  

oʻzgartirish mumkin boʻladi;

• 
  Eyler usuliga koʻra Runge-Kutta usuli juda ham aniqroq natijalar- ni beradi.
  

Mustaqil ish topshiriqlari

Topshiriq sharti: Quyida berilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasining taqribiy yechimini h=0,1 qadam bilan [0;1] kesmada bir qadamli usullar (Eyler usullari va Runge-Kutta usullari) yordamida toping, hisoblashlar algoritmini tuzing va hisoblash dasturini dasturlash tillaridan (Pascal, Delphi, C++ va boshqa) va

matematik paketlardan (Maple, MATLAB, Mathcad, Mathematica va boshqa) biridan foydalanib tuzing, olingan natijalarni aniq yechim bilan taqqoslang.

Topshiriq variantlari:

Testlar namunalari

1. 
   _Ushbu y'=f(x,y), y(x₀ )=y₀
   

Koshi masalasiga mos Eyler usulini koʻrsating

_A) y_i+1 =y_i +hf(x_i y_i ), i=0..n. _B) ^{yi+0,5 =yi +hif(xi,yi )/2,yi+1=yi +hif(xi+0,5,yi+0,5)}

C) ^u_i+1 ^=y_i ^+hf(x_i ^y_i ^),y_i+1 ^=y_i ^+h[f(x_i ^,y_i ^)+f(x_i+1^,u_i+1 ^)]/2 D) ^y_i+1 ^=y_i ^+h(k₁ ^+2k₂ ^+2k₃ ^+k₄ ^)/6

2. 
   _Ushbu y'=f(x,y), y(x₀ )=y₀
   

Koshi masalasi uchun Runge-Kutta usuli bu…

^{A) yi+1 =yi +hf(xi yi ), i=0..n. B) y}i+0,5 ^=yi ^+hi^f(xi ^,yi ^)/2,yi+1 ^=yi ^+hi^f(xi+0,5 ^,yi+0,5 ⁾

C) u_i+1 =y_i +hf(x_i y_i ),y_i+1 =y_i +h[f(x_i ,y_i )+f(x_i+1,u_i+1 )]/2 D)

3. 
   Eyler usulining xatoligi nimaga teng?
   

y_i+1 =y_i +h(k₁ +2k₂ +2k₃ +k₄ )/6

A) y(x_i )-y_i =O(h), i=0,...,n B) y(x_i )-y_i =O(h²),y(x_n )-y_n =O(h)

C) y(x_i )-y_i =O(h³), y(x_n )-y_n =O(h²) D) y(x_i )-y_i =O(h⁵), y(x_n )-y_n =O(h⁴)

4. 
   Takomillashgan Eyler usulining xatoligi nimaga teng?
   

A) y(x_i )-y_i =O(h), i=0,...,n B) y(x_i )-y_i =O(h² ), y(x_n )-y_n =O(h)

i i n n i i n n
^C) y(x )-y =O(h³), y(x )-y =O(h²) ^D) y(x )-y =O(h⁵), y(x )-y =O(h⁴)

5. 
   Runge-Kutta usulining xatoligi nimaga teng?
   

^A) y(x_i )-y_i =O(h), i=0,...,n ^B) y(

_i ) y_i

O(h² ) y(

_n ) y_n

O(h)

i i n n i i n n
^C) y(x )-y =O(h³), y(x )-y =O(h²) ^D) y(x )-y =O(h⁵), y(x )-y =O(h⁴)

Glossariy

Absolyut xato (Абсолютная погрешность) - Agar ^a - biror miqdorning

aniq qiymati boʻlib,

^{a *} uning ma’lum taqribiy qiymati boʻlsa, u vaqtda

taqribiy

^{a *} sonning absolyut xatosi de^b

a^* a

^a* ga aytiladi.

Algoritm (алгоритм) – ma’lum bir turkumdagi hamma masalalarni yechishda ishlatiladigan amallar tizimining muayyan tartibda bajarilishi haqidagi aniq qoida.

Algoritmik til (алгоритмический язык)– belgilar toʻplami va bu belgilardan algoritmlarni yozish uchun moʻljallangan til konstruksiyalarini tuzish va ifodalash qoidalari tizimi.

Amaliy dasturiy ta’minoti (прикладное программное обеспечение)

– bu foydalanuvchining aniq vazifalarini hal etish va umuman axborot tizimining hisoblash jarayonini tashkil etish uchun moʻljallangan boʻlib, operasion tizimlar imkoniyatlarini kengaytiruvchi paketlar, umumiy belgilanishdagi paketlar, avtomatik boshqarish tizimida ishlashga moʻljallangan paketlardan iborat.

Aniq usul (Точный метод) - Aniq usul deganda shunday metod tushuniladiki, uning yordamida chekli miqdordagi arifmetik amallarni aniq bajarish natijasida masalaning aniq yechimini topish mumkin.

Approksimatsiya xatoligi (Погрещность аппроксимации) – dastlabki hosila va uning chekli ayirmali analogi orasidagi farqning toʻr qadami nolga intilgandagi limiti.

Aralash usul (смещанный метод) - bu taqribiy yechim ham differensial tenglamani va ham chegaraviy shartni aniq qanoatlantirmagan hol.

Bir qadamli usul (Одношаговый метод) – y _k+1 iteratsiyani hisoblash uchun oldingi faqat bitta y_k iteratsiyadan foydalaniladigan usul.

Blok-sxema – algoritmni tasvirlashning grafik usuli.

Chegaraviy masala (Краевая задача) –qoʻshni boʻlmagan ikkita har xil nuqtalarda qoʻshimcha (boshlangʻich) shartlari bilan berilgan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar yordamida ifodalangan model.

Chegaraviy usul (граничный метод) – bu taqribiy yechim differensial tenglamani aniq qanoatlantirgan hol.

Dastur (программа) – qandaydir ijrochi, odatda avtomatik qurilma,

koʻpincha EHM bajarishi lozim boʻlgan amallar (harakatlar) rejasi.

Dasturiy ta’minoti (программное обеспечение) – avtomatlashtirilgan axborot tizimining elementi boʻlib, hisoblash texnikasi vositalari bilan ma’lumotlarni qayta ishlash tizimini yaratish va undan foydalanish uchun dasturiy va hujjatli vositalarni jamlash.

Dasturlash (программирование) – dastur, amal (harakat) rejasini tuzish jarayoni.

Diskretlashtirish xatoligi (usulning xatoligi) (Погрешность дискретизации (погрешность метода)) – dastlabki masalani diskret masalaga almashtirishda paydo boʻladigan xatolik.

Fizik model (физическая модель) – tabiati va geometrik tuzilishi asl

nusxadagidek boʻlib, miqdor jihatdan undan farq qiladigan model.

Galyerkin usuli (Метод Галеркина) – variatsion va chegaraviy masalalarni yechishdagi toʻgʻri usul boʻlib, Rits usulining juda keng umumlashtirilishidan iborat.

Hisoblash algoritmi (Вычислительный алгоритм) – matematik masalalarning taqribiy sonli yechimlarini topishga yordam beradigan arifmetik va mantiqiy operatsiyalar ketma-ketligi.

Hisoblash eksperimenti (Вычислительный эксперимент) – hisoblash matematikasi vositalari yordamida muammolarni tadqiq qilish.

Hisoblash matematikasi (Вычислительная математика) - Matematikada toʻliq matematik masalalarning yechimlarini yetarlicha aniqlikda hisoblash imkonini beruvchi metodlar yaratishgan va shu maksadda xozirgi zamon hisoblash vositalaridan foydalanish yoʻllarini ishlab chikishga bogʻlangan soha hisoblash matematikasi deyiladi.

Hisoblash matematikasi (Вычислительная математика) – matematikaning hisoblashlar bajaradigan va EHMlardan foydalangan holda hisoblashlar bajaradigan muammolarini oʻz ichiga olgan boʻlimi. Torroq ma’noda esa hisoblash matematikasi – bu ba’zi turdagi matematik masalalarni yechishni sonli usullar nazariyasi..

Hisoblash xatosi (Вычислительная погрешность) - Masalalarni yechishda hisoblashni aniq olib bormaganligimiz natijasida ham xatoga yoʻl qoʻyamiz, bu xato hisoblash xatosi deyiladi.

Hosilalar approksimatsiyasi (Аппроксимация производных) – dastlabki differensial tenglamadagi xususiy hosilalarni chekli ayirmali munosabatlarga almashtirish.

Hosilaning chap approksimatsiyasi (Левая аппроксимация производной) – approksimatsiyani qurish uchun berilgan tugundan chap tomonda joylashgan, ya’ni koordinataning kichik qiymatiga mos keluvchi tugunlardan foydalaniladi.

Hosilaning markaziy approksimatsiyasi (Центральная аппрок- симация производной) – approksimatsiyani qurish uchun berilgan

tugunga nisbatan simmetrik joylashgan juft sondagi tugunlardan foydalaniladi.

Hosilaning oʻng approksimatsiyasi (Правая аппроксимация производной) – approksimatsiyani qurish uchun berilgan tugundan oʻng tomonda joylashgan, ya’ni koordinataning katta qiymatiga mos keluvchi tugunlardan foydalaniladi.

Ichki usul (внутренный метод) - bu taqribiy yechim chegaraviy shartni aniq qanoatlantirgan hol.

Ikki qadamli iteratsion usul (Двухшаговый итеративный метод) – (k+1)-qadamdagi y _k+1 iteratsiyasi undan oltingi ikkita ketma-ket y _k va y_k-1 iteratsiyalari yordamida ifodalanuvchi usul.

Iteratsion usullar (Итерационные методы) – bu ketma-ket yaqinlashshlar usullari boʻlib, bunda berilgan aniqlikka erishish uchun talab qilinadigan arifmetik amallar sonini oldindan aytib boʻlmaydi. Iteratsion usullar ba’zan taqribiy yoki cheksiz usullar ham deb ataladi.

Iteratsiya (Итерация) – biror matematik amalni bir necha marta qoʻllash

natijasi.

Koshi masalasi (Задача Коши) – ikkita qoʻshni nuqtalarida qoʻshimcha (boshlangʻich) shartlari bilan berilgan ikkinchi tartibli differensial tenglama bilan ifodalanuvchi model.

Matematik model (Математическая модель) – algebraik, differensial, integral va boshqa tenglamalar yordamida jarayonlarning matematik ifodalanishi.

Matematik model (Математическая модель) – oʻrganilayotgan obyektning matematik formula yoki algoritm koʻrinishida ifodalangan xarakteristikalari orasidagi funksional bogʻlanish.

Nisbiy xito (Относительная погрешность) - Absolyut xatoning taqribiy miqdorning absolyut qiymatiga nisbati taqribiy sonning nisbiy

xatosi

a ^*

deb aytiladi.

a^*

_ a^*

Oshkor ayormali sxema (Явная разностная схема) – izlanayotgan noma’lum funsiyaning bitta qiymatini oʻz ichiga olgan sxema. Bunda algebraik tenglamalar sistemasi qurilgan toʻrning biror nuqtasida izlanayotgan funksiyaning har bir qiymatini oshkor holda aniqlovchi alohida tenglamalarga ajraladi.

Oshkormas ayormali sxema (Неявная разностная схема) – izlanayotgan noma’lum funsiyaning bittadan ortiq qiymatini oʻz ichiga olgan sxema. Bunda algebraik tenglamalar sistemasi alohida tenglamalarga ajralnaydi.

Progonka (istisno yoki mustasno qilish) usuli (Метод прогонки) – chegaraviy masalani yechish uchun ishlatiladigan istishno (yoki mustasno) qilish usullaridan biri.

Sonli qiymat (Численное решение) – funksiyaning son qiymati.

Taqribiy hisob (приближенные вычисления) – shunday hisobki, bunda berilgan sonlar va natija (yoki faqat natijaning oʻzi) tegishli miqdorlarning haqiqiy qiymatlariga taqriban teng boʻlgan sonlar boʻladi.

Usul xatosi (Ощибка метода) – Ba’zi matematik ifodalar tabiat xodisasining ozmi-koʻpmi ideallashtirilgan modelini tasvirlaydi. Shuning uchun tabiat hodisalarining aniq matematik ifodasini (formulasini, tenglamasini) berib bulmaydi, buning natijasida xato kelib chiqadi. Yoki biror masala aniq matematik formada yozilgan boʻlsa va shu koʻrinishda yechish mumkin boʻlmasa, bunday holda bu masala unga yaqinroq va yechish mumkin boʻlgan masalaga almashtirilishi kerak. Buning natijasida kelib chiqadigan xato metod xatosi deyiladi.

Xatolik (погрешность) – aniq va taqribiy yechim orasidagi farq boʻlib,

yuqori aniqlik darajasiga erishishni ta’minlovchi sonli xarakteristika.

Yaxlitlash xatoligi (Погрешность округления) – kompyuterda ifodalanayotgan sonlarning shartli chekli razryadini tanlash natijasida paydo boʻlgan xatoligi.

Yoʻqotib boʻlmaydigan xatolik (Неустранимая погрешность) – sonli usulning kiritilayotgan ma’lumotlardagi noaniqliklar tufayli paydo boʻladigan xatoligi.

Yoʻqotilmas xato (неутрачимая погрешность) - Dastlabki ma’lumot- larning noaniqligi natijasida hosil boʻlgan xato yoʻkotilmas xato deyiladi.

Sinov savollari

1. 
   Oddiy differensial tenglama (ODT) deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   ODT uchun Koshi masalasi va chegaraviy masalaning umumiy qoʻyilishini ayting.
   
3. 
   Boshlangʻich va chegaraviy shartlar nima?
   
4. 
   ODT uchun Koshi masalasining yechimi deganda nimani tushunasiz?
   
5. 
   ODT uchun Koshi masalasi yechimining geometrik maʼnosini ayting.
   
6. 
   ODT uchun Koshi masalasini taqribiy yechishning sababi nimada?
   
7. 
   ODTlarni taqribiy yechishning bir va koʻp qadamli usullarini ayting.
   
8. 
   Eylerning oshkor va oshkormas hamda modifikatsiyalangan usullari, ularning yaqinlashishi, xatoligi, algoritmi va geometrik talqinini tushuntiring.
   
9. 
   Runge-Kutta usullari, ularning yaqinlashishi, xatoligi, algoritmi va ge- ometrik talqinini tushuntiring.
   
10. 
    Runge qoidasini tushuntiring.
    
11. 
    Richardson ekstrapolyatsiyasi deb nimaga aytiladi?
    

Foydalanilgan va mustaqil oʻzlashtirishga oid adabiyotlar roʻyxati

1. 
   Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad, Mathlab, Maple (Самоучитель). – М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с.
   
2. 
   Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. Численное решение обыкновен- ных дифференциальных уравнений на Фортране. – М.: Изд-во МГУ, 1990.– 336 с.
   
3. 
   Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные мето- ды. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 640 с.
   
4. 
   Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2010. – 240 с.
   
5. 
   Вержбицкий В. М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2009. – 848 с.
   
6. 
   Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математи- ки. М.: Наука, 1966. – 566 б.
   
7. 
   Заусаев А.Ф. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособ. - Самара: Самарский гос. техн. ун-т, 2010. - 100 с.
   
8. 
   Исраилов М.И. Ҳисоблаш методлари. 1- қисм. – Тошкент: Ўқитувчи, 2003. – 440 б.
   
9. 
   Исраилов М.И. Ҳисоблаш методлари. 2-қисм. – Тошкент: Ўқитувчи, 2008. – 340 б.
   
10. 
    Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Численные методы: в 2 кн. Кн. 2. Методы математической физики. - М.: Издательский центр «Ака- демия», 2013. - 304 с.
    
11. 
    Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Изд-во Лань, 2010. – 608 с.
    
12. 
    Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использо- вание Matlab. 3-издание: Пер. с англ. – М.: Изд-во дом «Виль- ямс», 2001. - 720 с.
    
13. 
    Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Изд-во Лань, 2009. - 288 с.
    
14. 
    Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных диффе- ренциальных уравнений. Нежесткие задачи. – М.: Мир, 1990. – 512 с.
    
15. 
    Шампайн Л.Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB: Учебное пособие. /Пер с англ. М.А.Макарова. – СПб.: Изд-во
    

«Лань», 2009. – 304 с.

16. 
    Половко А.М., Бутусов П.Н. MATLAB для студента. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 320 с.
    
17. 
    Articolo G.A. Partial differential equations and boundary value prob- lems with Maple. – 2nd ed./ 2009, Elsevier Inc. - 733 p.
    
18. 
    Richard L. Burden and J. Douglas Faires. Numerical Analysis. Ninth Edition, Boston, USA, 2011. – 895 p.
    
19. 
    L.Ridgway Scott. Numerical Analysis. Princeton University Press, 2011.- 342 p.
    
20. 
    www.edu.ru; www.edu.uz; www.exponenta.ru; www.intuit.ru; www.ziyonet.uz; www.techlibrary.ru
    

MUNDARIJA

Kirish. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Boshlangʻich tushunchalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Masalaning qoʻyilishi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Eylerning oshkor usuli. 6

4. Eyler oshkor usulining yaqinlashishi. 15

5. Runge-Kutta usullari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6. Koshi masalasi va chegaraviy masalani bir qadamli sonli usullar bilan Maple dasturi yordamida yechish 39

Mustaqil ish topshiriqlari 49

Testlar namunalari 49

Glossariy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Sinov savollari 53

Foydalanilgan va mustaqil oʻzlashtirishga oid adabiyotlar

roʻyxati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Ablakul Abdirashidov Akmaljon Ablakulovich Abdurashidov

O’tkir Anjiboyevich Nishonov Feruza Ulugbekovna Kasimova
BIRINCHI TARTIBLI ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI BIR QADAMLI SONLI USULLAR YORDAMIDA YECHISH

Uslubiy ko‘rsatmalar
Muharrir: Saydaliyeva N. Musahhih: Raxmatullayev N. Texn. muharrir: Ro‘ziboyev M.
2008 yil 19­iyun 68­buyruq.

2018 yil 4­iyunda noshirlik boʻlimiga qabul qilindi.

2018 yil 18­iyunda original maketdan bosishga ruxsat etildi.

Bichimi 60x84, ¹/₃₂. «Times New Roman» garniturasi.

Ofset qogʻozi. Shartli bosma tabogʻi – 3,5.

Nashriyot hisob tabogʻi – 2,5. Adadi 25 nusxa. 57­buyurtma.

SamDU bosmaxonasida chop etildi.

56
140104, Samarqand sh., Universitet xiyoboni, 15



View publication stats