4 authors, including: Ablakul Abdirashidov Samarkand State University 109

5-lemma. Eyler toʻgʻrilangan usulining lokal xatoligi baholashni qanoatlantiradi:

2. 
   )
   


1i

quyidagi


(2)

i1

^{ M  h3} , i=0,1,…,N-1, (58)

bu yerda M – chekli oʻzgarmas son boʻlib barcha i lar uchun bir xil va un- ing qiymati M₁ – M₆ larning qiymatlari orqali topiladi.

Isbot. (58) baholashni chiqarishning gʻoyasi Eyler oshkor usulining

(40) baholashinikiga oʻxshash (bu yerda M oʻzgarmasning qiymati har ikkala usul uchun bir biridan farq qiladi). Qaralayotgan usulning lokal xatoligi uchun ushbu


(2)

i1

 y⁽ⁱ⁾ (x

)  y_i1

(59)

i1
ifodasida y_i+1 toʻr yechimni unga teng boʻlgan va hisob ifodasining h ning darajalari boʻyicha Teylor qatoriga yoyilmasi hisob formulasidan topilgan miqdori bilan almashtiramiz, bunda ishonch hosil qilamizki, u h boʻyicha talab qilingan kichiklik darajasiga koʻra cheksiz kichik.

Yuqoridagi (59) formulada


1i
lidagi kabi, ushbu

y ⁽ⁱ⁾ (x _ )

miqdor, Eylerning oshkor usu-

y ⁽ⁱ⁾ ^(x

i 1 ^{) }

f (x, y ⁽ⁱ⁾ (x))_{, (60)}

i 1

i
y⁽ⁱ⁾ (x ) y

(61)

differensial tenglama yordamchi yechimining – Koshi masalasi yechimin- ing x_i+1 nuqtadagi qiymati.

Bu qiymatni Teylor formulasi boʻyicha ifodalaymiz, bunda yoyilman- ing uchunchi tartibgacha kichiklikdagi hadlarini saqlab qolamiz:

_y(i ) _(x

)  y⁽ⁱ⁾ (x )  y⁽ⁱ⁾ '(x )h  ¹ y⁽ⁱ⁾ ''(x )h²  ¹ y⁽ⁱ⁾ '''(x

 h)h³ _{. (62)}

i 1 i

i ₂ i ₆ i i

(60) va (61) tengliklarga koʻra

^{y(i) (}^{x ) y} _, y⁽ⁱ⁾ '(x ) f (x , y⁽ⁱ⁾ (x )) f (x , y ) _{. (63)}

^{i 1 i} i1 i i i i

Bundan tashqari avval (60) tenglikni differensiallab, keyin esa uni qayta qoʻllab, quyidagi munosabatga kelamiz:

x

y
y⁽ⁱ⁾ ''(x)  f '(x, y⁽ⁱ⁾ (x))  f '(x, y⁽ⁱ⁾ (x))y⁽ⁱ⁾ '(x) 

x
 f '(x, y⁽ⁱ⁾ (x)) 

f '(x, y⁽ⁱ⁾ (x)) f (x, y⁽ⁱ⁾ (x)) _{, (64)}

y
bu yerda x = x _i almashtirish olib, (61) ga koʻra quyidagi tenglikka ega boʻlamiz:

y⁽ⁱ⁾ ''(x)  f '(x , y )  f '(x , y )  f (x , y ) _{. (65)}

x i i y i i i i

(63) va (65) lardan foydalanib, (62) yoyilmani quyidagicha yozish mum- kin:

_y(i ) _(x

)  y

 f (x , y )h  ¹ f '(x , y )  f

'(x , y )  f (x , y )h² 

i 1 i

i i ₂ x i i

y i i i i

i
 ¹ y ⁽ⁱ⁾ '''(x

6 ⁱ

  h)h³
(66)

Lokal xatolik uchun (59) ifodadagi y _i+1 miqdor (54) formula orqali beriladi. Bu ifodaning oʻng tarafini ikki oʻzgaruvchili funksiya uchun (x_i,y_i) nuqtada Teylor formulasi boʻyicha yoysak, quyidagini hosil qilamiz:

y  y  ^h  f (x , y ) 

f (x

 h, y  hf (x , y ))  y

 ^h  f (x , y )  f (x , y ) 

i 1 i ₂ i i

i i i i

i ₂ i i i i

f '(x , y )  h  f

'(x , y )  h  f (x , y )  ¹ f

''(^~x , ^~y )  h² 

x i i

y i i

i i ₂ xx i i

• 
  2 f
  

''(^~x , ^~y )  h  h  f (x , y )  f

''(^~x , ^~y )  h²  f ² (x , y )  y

 f (x , y )  h 

xy i i

i i yy i i

i i i i i

 ¹ f

'(x , y )  f

'(x , y )  f (x , y ) h²  ¹  f

''(^~x , ^~y ) 2 f

''(^~x , ^~y )  f (x , y ) 

₂ x i i

y i i i i

₂ xx i i

xy i i i i

y f x y

'h'(^~ , ^~ )  ² ( ,

⁾⁾ 3 , (67)

yy i i i i

bu yerda

^~x , ^~y

- ikkita (x_i,y^_i) va ^{x, y}

 (x , y

hf (x , y ))

nuqtalarni

^{i i} i

i 1

i 1 i i i

tutashtiruvchi kesma boʻylab yotuvchi kenglik nuqtalarining koordinata- lari.

(66) va (67) tengliklarni ixchamroq holda yozib, ikki oʻzgaruvchili funksiyalar argumentlarini tashlab yuborib, agar ular x _i, y _i larda teng boʻlsa, quyidagilarga kelamiz:

_y(i ) _(x

)  y

 f  h  ¹ f ' f

' f  h² 

¹ y⁽ⁱ⁾ '''(x   h)  h³ _{, (68)}

i 1 i

₂ x y

₆ i i

^yi 1 ^

y_i 

f  h  ¹  f

₂ x

' f _y

' f  h²  

^{ h}3 , (69)

i
bu yerda quyidagi belgilash qabul qilingan:

  ¹ f ''(^~x , ^~y )  2 f

''(^~x , ^~y )  f  f

''(^~x , ^~y )  f ² _{. (70)}

i ₂ xx i i

xy i i

yy i i

i
(68) va (69) ifodalarni oʻzaro taqqoslab, ularda h boʻyicha nolinchi, birinchi va ikkinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz kichik miqdorlar bir xil va shuning uchun ularni (59) ifodaga qoʻyganimizda ular oʻzaro qis- qarib ketadi. Demak, Eyler toʻgʻrilangan usulining lokal xatoligi quyidagi- ga teng:


(2)

i 1

 ¹ y⁽ⁱ⁾ '''(x

6 ⁱ

 _i

 h)  h³  

^{ h}3 , (71)

shunga koʻra bu h ga nisbatan uchinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz kichik miqdor. Bunda (71) munosabatning oʻng tarafidagi ikkinchi had (-_ih³) ning moduli yuqoridan M ₇ˑh³ miqdor bilan baholanadi, bu yerda

(70) ga koʻra M₇ ning qiymati quyidagicha:

M₇ = (M₄+2 M₅ M₁+ M₆(M₁)²)/2

Birinchi handing moduli esa xuddi hu tartibli M₆h³ cheksiz kichik mi- qdor bilan yuqoridan baholash imkonini beradi, ammo bunda oʻzgarmas M_S. Bu oʻzgarmasni topish uchun (64) tenglikning oʻng tarafini differensi- allash lozim va (60) munosabatdan foydalanib, y ⁽ⁱ⁾ yechimning uchinchi hosilasini hamda uning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini differensial

tenglamaning oʻng tarafi orqali quyidagicha ifodalash zarur:

y^{i } '''(x) 

^f xx

''(x, y⁽ⁱ⁾ (x))  f

''(x, y⁽ⁱ⁾ (x)) f (x, y⁽ⁱ⁾ (x)) 

xy

xy

yy
 f ''(x, y⁽ⁱ⁾ (x))  f

''(x, y⁽ⁱ⁾ (x)) f (x, y⁽ⁱ⁾ (x)) f (x, y⁽ⁱ⁾ (x)) 

x

y
 f '(x, y⁽ⁱ⁾ (x)) 

f '(x, y⁽ⁱ⁾ (x)) f (x, y⁽ⁱ⁾ (x)) f '(x, y⁽ⁱ⁾ (x))_{, (72)}

y
bu yerdan M_S oʻzgarmasning qolgan M ₁, M₂, M₃, M₄, M₅, M₆ oʻzgarmaslar orqali ifodasi kelib chiqadi.

Shunday qilib, M = M₈ + M₇ konstantali (58) baholash oʻrnatildi.