4 authors, including: Ablakul Abdirashidov Samarkand State University 109

y


x_i

f ^(x, y^(x))dx 

^xi1



x_i

f ^(x, y^(x))dx 

^xi1



x_i

f ^(x, y^(x)) dx 

^xi1

_ M

x<sub>i

3</sub>dx  M₃

^xi1

• 
  x_i   M₃h
  

y

y
munosabatlar zanjiridan va eksponentaning monoton oʻsuvchi funksiya ekanligidan kelib chiqadi:

Shunday qilib, (40) va (49) baholashlarni ketma-ket qoʻllash bilan Eyler oshkor usulining yaqinlashuvchanligini oʻrnatish mumkin.

1-teorema. Quyidagi tengsizlik oʻrinli:

_i  C(M₁, M ₂ , M₃ )  h,

i  0,1,..., N,

(50)

bu yerda C – oʻzgarmas boʻlib, (29)-(31) shartlardagi M ₁, M₂, M₃

oʻzgarmaslar va L – integrallash kesmasining uzunligi orqali topiladi.

Isbot. x ₀ tugundagi toʻr yechimning xatoligi uchun quydagi tenglik

oʻrinli:

₀  0 _.

x₁ tugunda jamlangan xatolik boʻlmaydi, shuning uchun (40) ga koʻra quyidagini yoza olamiz:

1

1
_{ } (2)_

^Mh2 .

x₂ tugundagi xatolik uchun (40) va (49) larni e’tiborga olib quyidagiga

ega boʻlamiz:

_{  } (1) _{ } (2)

_{ } (1)

_{ } (2)

 exp(M

h)  

• 
  Mh² 
  

2 2 2 2 2 3 1


3 3
exp(M h)  Mh²  Mh²  (exp(M h)  1)  Mh² .

Xuddi shunday, x₃ tugun uchun quyidagi tengsizlikka ega boʻlamiz:

_{  } (1) _{ } (2)

_{ } (1)

_{ } (2)

 exp(M

h)  

• 
  Mh² 
  

3 3 3 3 3 3 2

exp(M₃h)  (exp(M₃h)  1)  Mh²  Mh²  (exp(2  M ₃h)  exp(M₃h)  1)  Mh² .

Endi oydinki, munosabatlani xuddi shunday davom ettirib, quyidagi tengsizlikka kelamiz:

3 3 3 3

i
  exp((i 1)M h)  exp((i  2)M h)  ...  exp(2  M h)  exp(M h) 1 Mh²

Hosil qilingan bu tengsizlikning oʻng tarafidagi qavs ichida chekli ge-

ometrik progressiyaning hadlari yigʻindisi yozilgan boʻlib, uning maxraji q

= exp(M₃h) ga teng. Bu yigʻindi uchun quyidagi ifodadan foydalanamiz:

1  qⁱ

1  exp(i  M h) exp(i  M h)  1

_ 3 _ 3 _.

1  q

1  exp(M ₃h) exp(M ₃h) 1

Bu yerdan esa quydagi tengsizlikni hosil qilamiz:

_{ } exp(i  M ₃h)  1 _{Mh2 .}

ⁱ exp(M h)  1

3

(51)

Shuni taʼkidlaymizki, progressiya hadlarining yigʻindisi formulasida surat va maxrajning musbatligini taʼminlash uchun qoʻshiluvchilarning oʻrnini ham suratda va ham maxrajda almashtirdik.

(51) shartni kuchaytiramiz, buning uchun undagi kasrning suratini un- dan katta boʻlgan songa, maxrajini esa undan kichik boʻlgan songa al- mashtiramiz. Buning uchun suratdagi i indeksni uning maksimal qiymati N bilan almashtiramiz hamda (3) dan kelib chiquvchi Nh = L tenglikdan foy- dalanib, surat uchun exp(M₃h) – 1 dan kattaroq boʻlgan songa ega boʻlamiz. Maxrajdagi exp(M₃h) miqdorni esa eksponenta uchun qatorga yoyib, ulardagi 1 birlikni qisqartirib, natijada quyidagi munosabatga ke- lamiz:

M h M h ¹ 1!

M ¹ (


h
³ 2!

)²  ¹ (

3
3!

)³  .... _,

3
bu yerda ikkinchi qoʻshiluvchidan boshlan barcha keyingilari qoʻshiluvchilar M₃h dan kichik.

Natijada quyidagi tengsizlikka kelamiz:

_{ } exp(M ₃ L) 1 _{Mh2  M} exp(M ₃ L) 1 _h.


M

h

M
i

3 3

Bu olingan baholash (50) baholashning aynan oʻzi, bunda (41) ga koʻra C oʻzgarmas quyidagiga teng:

3
C  ¹  ^{M 2  M 3 M1}  exp(M

^{L)  1}. (52)

2 M ₃

3-natija. Maʼlumki, (50) baholashning oʻng tarafiga koʻra (52)

oʻzgarmas i dan bogʻliq emas, shuning uchun quyidagi baholash oʻrinli:

i
max 

i0,1,..,N

^{ Ch} . (53)

Bu baholashdan toʻr qadamining nolga intilishi bilan toʻr yechimi xatolig- ining ham nolga intilishi (bunda u toʻr tugunlari boʻylab nolga tekis yaqin- lashadi) haqidagi (28) munosabat kelib chiqadi.

9. 
   izoh. Agar M ₁, M₂, M₃ oʻzgarmaslar maʼlum boʻlsa, u holda toʻr
   

yechimni talab qilingan ^_*
yoki xuddi shu kabi

aniqlik bilan olish uchun ushbu

Ch  ^_*

CL/N  ^_*

tengsizlikni yechish talab qilinadi; bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi kesmalarni boʻlishlar soni N da toʻrning ixtiyoriy tugunida toʻr yechim

xatoligining absolyut miqdori ^_*

aniqlikdan oshib ketmaydi, bu (53)

munosabatdan ham kelib chiqadi.

Agar koʻrsatilgan oʻzgarmaslar nomaʼlum boʻlsa (bu hol amaliyotda tez-tez uchraydi), u holda talab qilingan N qiymatni izlash uchun Runge qoidasi deb ataluvchi maxsus qoidadan foydalaniladi; bu qoidaga koʻra kesmani boʻlishlar soni har safar ikkilantirib boriladi va har safar berilgan aniqlikni taʼminlovchi N qiymatni topish uchun olingan toʻr yechimlar taqqoslanib boriladi.

5. Runge-Kutta usullari

Yuqorida tavsiflangan Eylerning oshkor va oshkormas usullari bir qadamli usullar sinfiga kiradi. Bu usullarning bunday deb atalishining sababi bu formulalar toʻrning yonma-yon ikkita tugunidagi toʻr yechimlar- ni oʻz ichiga olishi va ularning oldingi tugunda berilgan toʻr yechimdan foydalanib navbatdagi tugundagi toʻr yechimni topish imkonini berishi.

Bir qadamli usullarning yana boshqalari bu Eylerning toʻgʻrilangan va

modifikatsiyalangan usullaridir.

Eylerning toʻgʻrilangan usuli quyidagi munosabatlar bilan beriladi:

y – berilgan, ^y

 y  ^h  f (x , y ) 

f (x

, y  hf (x , y

^{) }, i = 1,2, …, N–1.(54)

0 i1 i ₂ i i

i1 i i i

Eylerning modifikatsiyalangan usuli esa quyidagi munosabatlar bilan beriladi:

y  y

• 
  hf ^ x  ^h , y  ^h f (x , y ) ^
  

y₀ – berilgan,

i1 i

^ i ₂ i <sub>2

i i</sub> ^ , i = 1, 2, …, N–1. (55)





Bu usullarda oldingi qadamda hisoblangan y _i yechimdan foydalanib

y_i+1 tugun yechimni topish ikki bosqichda bajariladi.

Eylerning toʻgʻrilangan usulida avvalo oldingi qadamdagi y _i ning qiymati yuqorida tavsiflangan ushbu

i i <sup>

y</sup>i ^1i ^y

hf (x , y )

(56)

Eylerning oshkor usuli formulasidan topiladi, undan keyin esa uning x _i+1

tugundagi toʻr yechimi quyidagi formuladan foydalanib topiladi:

y  y  ^h  f (x , y ) 

f (x , y

^) . (57)

i 1 i ₂ i i

i 1

i 1

Eylerning modifikatsiyalangan usuliga koʻra dastlab Eylerning oshkor usuli formulasi boʻyicha quyidagi yordamchi toʻr yechim i+1/2 «yarim bu- tun» nomer bilan x_i+1/2=x_i+h/2 oraliq tugunda topiladi:

 y ₁

i 

2

h

y_{i 2} f (x_i , y_i ) _,

keyin esa izlanayotgan y _i+1 toʻr yechim quyidagi formula boʻyicha hisoblanadi:

y_i y_i

hf (

1 ^y 1 ⁾ .

i i

2 2

Eylerning toʻgʻrilangan usulining geometrik maʼnosi quyidagicha (10-rasm).

1. 
   differensial tenglamaning y⁽ⁱ⁾ va ȳ ⁽ⁱ⁺¹⁾ yechimlarining (x_i,y_i) va (x_i+1,ȳ_i+1) nuqtalar orqali oʻtuvchi mos grafiklarini chizamiz, bunda ȳ _i+1 ning qiymati (56) formula boʻyicha hisobla- nadi, ₁, ₂ lar orqali esa koʻrsatilgan
   

nuqtalarda shu grafiklarga oʻtkazilgan urinmalarning x oʻq bilan tashkil

9. 
   rasm.
   

qilgan mos burchaklarini belgilaymiz. Keyin esa (x_i,y_i) nuqta orqali x oʻq bilan  burchak tashkil etuvchi shunday l toʻgʻri chiziq oʻtkazamizki, un- ing burchak koeffisiyenti, yaʼni tangensi ₁, ₂ burchaklar tangenslarining oʻrta arifmetigiga teng boʻlsin:

 tg

¹ tg

₂ 1

tg ₂ _.

4-lemma. l toʻgʻri chiziqning x _i+1 tugun orqali oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi Eylerning toʻgʻrilangan usuli orqali x _i+1 tugunda topilgan toʻr yechimi qiymati bilan mos keladi.

Isbot. l toʻgʻri chiziqning tenglamaini quyidagicha yozamiz:

( ) ( )( )

• 
  y^x
  

tg x

x_i y_{i .}

Maʼlumki,

tg  ¹ tg  ¹ tg  ¹ y ⁽ⁱ⁾ ^ (x )  ¹ y ^(i1) ^ (x

)  ¹ f x , y ⁽ⁱ⁾ (x )

_{2 1 2 2 2 i 2}

i 1 ₂ i i

• 
  ¹ f x
  

_{, y} (i 1) _(x

) ¹ f x , y  ¹

f x , y ,

₂ i 1

i 1

₂ i i ₂

i 1 i 1

qaralayotgan toʻgʻri chiziqning tenglamasini quydagicha yozish mumkin:

y^(x)  ¹  f x , y  f x , y (x  x )  y _.

₂ i i

i 1

i 1 i i

Bu yerda x = x _i+1 kabi belgilash kiritib, x _i+1 – x _i = h ekanligidan quyidagi miqdorni hosil qilamiz:

y^(x

)  y  ^h  f x , y  f x , y

 _,

i 1 i ₂ i i

i 1

i 1

bu esa (57) ga koʻra oʻz navbatida y_i+1 toʻr yechimga mos keladi.

10-izoh. Eylerning toʻgʻrilangan usuli holida y _i+1 yechimni topish uchun izlanayotgan yechimning [x_i,x_i+1] kesmadagi grafigi Eylerning osh- kor usulidagi kabi (x_i,y_i) nuqtadan oʻtuvchi boʻlagi bilan almashtiriladi. Ammo bu boʻlakning qiyaligini tanlash ancha mushkul, chunki Eylerning oshkor usuli yordamida (x_i,y_i) nuqtaga qoʻshimcha ravishda (x_i+1,ȳ_i+1) nuqta ham quriladi va bu qiya chiziqning absissa oʻqi bilan hosil qilgan burchagi tangensi deb berilgan differensial tenglamaning shu nuqtalardan oʻtuvchi yechimlari grafiklariga oʻtkazilgan urinmalarning absissa oʻqi bilan hosil qilgan burchaklari tangenslarining oʻrta arifmetigi olinadi.

Yana bir bor taʼkidlaymizki, bu burchaklarning oʻzlari emas, balki ularning tangenslari oʻrtalashtiriladi.