3D modellashtirish va raqamli animatsiya

 
( )
ko‘phad uchun formula yuqorida keltirilgandan 
u 
ning o‘rniga
 
v 
ni qo‘yilgani bilan farqlanadi, 
M 
bazis matritsasi esa quyidagicha 
ifodalanadi 
|
| 
 
M 
matritsani (3.5) ifodaga qo‘yib va Beze splayni uchun 
bajarilgani kabi matritsalar ustida amallar bajarib B-splayn tayanch 
nuqtalar orqali o‘tmasligiga ishonch hosil qilish mumkin. Misol 
uchun, 
i=v=0
parametrik 
koordinatali 
joriy 
nuqtada 
x 
koordinataning qiymati quyidagicha bo‘ladi:
( )
( 
) 
(3.7) 
Bu shuni ko‘rsatadiki, joriy nuqtaning koordinatalari hech bir 
tayanch nuqta koordinatasi bilan ustma-ust tushmagan, aksincha, 
tayanch nuqtalar koordinatalari ulushlari yig‘indisidan iborat. Eng 
ko‘p ulushni 
tayanch nuqta qo‘shgan, shu sababli 
u, v 
argumentning nollik qiymatlarida shu tayanch nuqtaga yaqinroq 
bo‘ladi.
B-splaynlardan foydalanish murakkab sirtlarni modellashtirish 
jarayonini soddalashtiradi. Nuqtalarning 4x4 to‘rt burchagini tashkil 
qiluvchi sirtning ixtiyoriy 16 ta xarakterli nuqtasini primitivning B-
splayn tayanch nuqtasi sifatida qabul qilinishi mumkin. Bunda hosil 
qilingan qirqim butun xarakteristik ko‘p yoqni egallamaydi, balki 
to‘rtta oraliq nuqtalar 
yaqiniga joylashadi. 

---

62 
Yuqorida 
u, v 
argumentning nollik qiymatlarida joriy nuqta burchak 
nuqtalarga yaqinlashmasdan markaziy nuqtalardan biri 
ga 
yaqinlashganligini analitik ko‘rgan edik. B ilovada MathCAD da 
qirqimning B-splayn modeli A ilovdagi Beze splayni hosil qilingan 
tayanch 
nuqtalarda 
keltirilgan. 
Koordinataning 
raqamli 
qiymatlaridan ko‘rinib turibdiki,
u, v 
parametrlarning (0,1) oraliqda 
o‘zgarishida B-splayn xarakteristik ko‘p yoqning markaziy qismiga 
yaqinlashadi va fazoda Beze splayniga qaraganda taxminan to‘qqiz 
marta kam joy egallaydi. Bundan kelib chiqadiki, bir xil sohani 
modellashtirish uchun B-splayn primitivda Beze splayniga 
qaraganda to‘qqiz marta ko‘p hisoblash talab qilinadi. B-splaynning 
bu kamchiligi qo‘shimcha tayanch nuqtalarsiz yuqori silliqlikdagi 
sirt hosil qilish mumkinligi bilan qoplanadi. Bundan murakkab 
shaklli fazoviy sirtlarni modellashtirishning sodda usuli kelib 
chiqadi:

sirt unga tegishli bo‘lgan xarakterli nuqtalar majmuasi bilan 
hosil qilinadi. 
u, v 
koordinata o‘qlarining joylashuvi tanlanadi. 
Primitivning xarakterli nuqtalari B-splaynning tayanch nuqtalari 
sifatida qabul qilinadi; 

16 ta tayanch (har bir koordinata o‘qi bo‘ylab to‘rttadan) 
nuqtani o‘z ichiga olgan “darcha” hosil qilinadi. (3.5) ifodadan 
primitivning joriy nuqtasi koordinatalarini hisoblash amalga 
oshiriladi;

navbatdagi primitivda jarayon tugagandan so‘ng u yoki v o‘qi 
bo‘ylab darcha bitta qator tayanch nuqtaga ko‘chadi. Ko‘chish 
natijasida darchaga 12 ta oldingi va 4 ta yangi nayanch nuqta kiradi. 
Bu tayanch nuqtalar majmuasi uchun (3.5) ifoda orqali joriy 
nuqtalar koordinatalari hisoblanadi;

3-band barcha tayanch nuqtalar ishlatilmagunga qadar 
bajariladi. Shundan so‘ng modellashtirilgan sirtning vizual nazorati 
bajariladi. Nazorat natijasi bo‘yicha relefni tahrirlash uchun tayanch 
nuqtalar holati o‘zgartiriladi. 
B-splayn qirqimni xarakteristik ko‘p yoqning markaziy 
qismiga yaqinlashtirish modellashtirilgan sirtning joriy sirt 
chegaraviy xarakterli nuqtalari orqali o‘tmasligiga olib keladi. 
Sirtning chegarasiga yaqinlashuvchi qirqimlar olish uchun 
qo‘shimcha bir nechta tayanch nuqtalar talab qilinadi va bu nuqtalar 

---

 йўна 
63 
joylashuvi haqida hech qanday ma’lumot mavjud bo‘lmaydi. Bu 
masalani yechish karrali chegaraviy tayanch nuqtalarga keltiriladi. 
Bir xil koordinatali va har xil belgilangan tayanch nuqtalar karrali 
tayanch nuqtalar deb ataladi. Bitta splayn qirqim misolida ularning 
qo‘llanilishini ko‘ramiz.
Karrali tayanch nuqtalar chegaraviy tayanch nuqtalarning 
koordinatalari takrorlanishi va yangi nuqtaga o‘ziga xos belgilash 
kiritilishi bilan hosil qilinadi. Har bir chegaraviy tayanch nuqta 
o‘ziga karrali bo‘lgan bitta nuqta, to‘rtta burchak nuqtalari esa 
uchtadan qo‘shimcha tayanch nuqtani oladi.