3D modellashtirish va raqamli animatsiya

x, y, z 
koordinatalaridan 
iborat massiv; 
( )
( )
har xil ko‘rinishli splayn funksiyalar har biri 
uchun o‘zining ko‘rinishiga ega bo‘lgan funksional koeffitsiyentlar; 
( )
( )
funksiyalarning qiymatlari tayanch nuqtalar 
koordinatalarining og‘irlik koeffitsiyenti rolida kelmoqda, shu 
sababli ular og‘irlik funksiyalar deb ataladi.
Kompyuter 
grafikasida 
odatda 
splaynlarning 
matritsa 
shaklidagi ifodalaridan foydalaniladi va ular quyidagi ko‘rinishda 
bo‘ladi: 
( )
( )
(3.5) 
( )
bu erda, 
U, V 
lar 
u 
va 
v 
parametrlarning darajalari vektori: 
| 
| 
| 
| 
 
tayanch nuqtalarning 
x, y, z 
koordinatalaridan iborat 
geometrik matritsalar, misol uchun 3.6-rasmda qabul qilingan 
tayanch nuqtalarni nomerlashtirish uchun, 

---

 йўна 
57 
|
|
M
– sirtning o‘ziga xosligini aniqlovchi sonli koeffitsiyentlardan 
tashkil topgan sirtning bazis matritsasi. 
Splaynlar qator foydali xossalar bilan xarakterlanadi. Yuqorida 
ta’kidlanganidek, splayn qirqim shakli xarakteristik ko‘p yoqning 
shaklidan kelib chiqadi. Agarda uning barcha tayanch nuqtalari bitta 
tekislikda yotsa, u holda splaynning barcha joriy nuqtalari ham shu 
tekislikda yotadi. Xarakteristik ko‘p yoq splayn sirt atrofiga tashqi 
chizilgan bo‘ladi, demak, bu sirtning biror bir sohaga (misol uchun, 
kuzatuvchiga ko‘rinish sohasiga) tushishi o‘n oltita nuqta bilan 
tekshirilishi mumkin. Bundan tashqari, splaynlar affin almashtirish-
larga nisbatan invariantdir. Bu zarurat tug‘ilganda splaynlarni 
ko‘chirishda, burishda, masshtablashtirishda va akslantirishda qir-
qimning boshqa nuqtalarida bu almashtirishlarni bajarish shart bo‘l-
masligini bildiradi. Faqatgina tayanch nuqtalarda almashtirishlarni 
bajarish yetarli bo‘ladi, keyin splaynlarni kengaytirish algoritmini 
(3.5 ifoda) bu almashtirilgan tayanch nuqtalarga tadbiq etiladi.
Geometrik modellashtirishda Bezening bikubik sirtidan 
foydalaniladi. Bu sirtlarni qurishda cheklanishlar sifatida uning 
xarakteristik ko‘p yoqning burchak nuqtalaridan o‘tishi va uning 
chegaralarida berilgan og‘malarning 
u 
va 
v
yo‘nalishlarga urinma 
bo‘lishligi qabul qilinadi. 3.13-rasmda Bezening bikubik sirti va 
uning uchlari 16 ta tayanch nuqtasi 
da bo‘lgan 
xarakteristik ko‘pyoqlari keltirilgan. 

---

58 
3.13-rasm. Beze splayni xarakteristik ko‘pyog‘i bilan. 
Sirt o‘zining lokal dekart koordinatalar tizimida joylashtirilgan. 
Tayanch nuqtalarni belgilovchi indekslar 
u, v 
parametrlar bilan 
bog‘landi (
) va bu parametrlarning o‘sish yo‘nalishida ortib 
boradi (ular rasmda strelkalar bilan ko‘rsatilgan). Splayn sirti 
v=const 
chizig‘i bo‘ylab yoyiladi, ya’ni avval 
v=0 
chiziqda 
yotuvchi joriy nuqtalar hisoblanadi, keyin 
chiziqda, undan 
keyin 
chiziqda va h.k., bu yerda,
- 
v 
parametr 
bo‘yicha qadam. Burchak nuqtalari primitivni modellashtirilayotgan 
sirtga bog‘lash uchun ishlatiladi.
Beze sirti uchun (3.4) da funksional koeffitsiyentlar quyidagi 
ifodalar bilan aniqlanadi:
( )
( )
( )
( )
bu erda, 
binomial koeffitsiyentlar.
(3.5) tizimda bazis matritsasi quyidagi ko‘rinishni oladi: 
|
|
. 
Beze splayni burchak tayanch nuqtalaridan o‘tishiga ishonch hosil 
qilish mumkin, misol uchun, 
nuqta orqali. Buni