3D modellashtirish va raqamli animatsiya

S 
egri chizig‘i 
ko‘rinishi uzilishli chizilgan. Masalani yechish uchun 
S 
egri 
chiziqqa to‘rtta cheklashlar yuklanadi: 1) va 2) – egri chiziq 
P
1 va 
P
2 nuqtalardan o‘tadi, bu holda qo‘shilgan murakkab egri chiziq 
birinchi tartibli uzilishlarga ega bo‘lmaydi; 3) va 4) –
 S 
egri chizig‘i 
qo‘shni qismlar bilan 
P
1 va 
P
2 nuqtalarda silliq qo‘shiladi, u holda 
egri chiziq ikkinchi tartibli uzilishlarga ega bo‘lmaydi. Buning 
uchun 
S 
egri chiziqning to‘rtta koeffitsiyentdan kam bo‘lmagan ko‘p 
had ko‘rinishidagi matematik ifodasi talab qilinadi. Bu kabi ko‘p 
hadlarning eng soddasi quyidagi ko‘rinishdagi uchinchi darajali 
ko‘p haddir. 
3.11-rasm. Ikki nuqta bo‘ylab splayn-interpolyatsiya. 
Bu ko‘phad talab qilingan to‘rtta koeffitsiyentga 
ega. 
Yuqorida ta’kidlangan to‘rtta cheklanishlar to‘rt noma’lumli to‘rtta 
tenglamalar tizimini beradi:

---

54 
1)
P
1 nuqtadan o‘tish – 
2)
P
2 nuqtadan o‘tish - 
3)
P
1 nuqtada qo‘shni splaynlarning birinchi tartibli hosilalari teng 
– 
4)
P
2 nuqtada qo‘shni splaynlarning birinchi tartibli hosilalari teng 
– 
Splayn egri chiziqdan farqli splayn sirtlar ular uchun burchak 
nuqtalari hisoblanuvchi to‘rtta nuqtadan o‘tishi kerak. Sirtni kubik 
egri chiziqni o‘ziga parallel harakatlanishi natijasi sifatida tasvirlash 
mumkin. Bunda bu egri chiziqning chetki ikki nuqtasi harakatlanish 
jarayonida boshqa (yonbosh) ikkita kubik egri chiziq bo‘ylab 
siljiydi. Natijada bikubik darajali ko‘p hadda ifodalanuvchi sirt hosil 
bo‘ladi. Ko‘p hadning har bir qo‘shiluvchisi ikkita argumentning 0 
dan 3 gacha darajalarining har xil kombinatsiyasini o‘z ichiga oladi.
Splayn sirtlarning turli xil ko‘rinishlari mavjud va ular har xil 
shartlar va geometrik parametrlardan foydalanib quriladi va har xil 
xossalarga ega bo‘ladi [15].
Splaynlarni ifodalash uchun aniq, mavhum va parametrik 
shakllardan foydalanish mumkin. Kompyuter grafikasida asosan 
splaynlarning parametrik ifodasidan foydalaniladi. Dekart koordi-
natalar tizimida ifodalashning aniq shakli qator sabablarga ko‘ra 
juda kam ishlatiladi. Birinchidan, sirtni aniq shakldagi ifodasining 
ko‘rinishi tanlangan koordinatalar tizimi holatiga bog‘liq. Ikkin-
chidan, sirtning ayrim qismlari vertikal urinma vektorlarga ega 
bo‘lishi mumkin, ya’ni hosilaning cheksizlikka intilishi kuzatiladi. 
Bunday hollarda sirt qismlarining ulanishi shartlarini berib 
bo‘lmaydi. Umumiy holda splayn sirt qismlari bikubik ko‘rinishli 
quyidagi ifoda bilan tavsiflanadi
( ) ( 
) 
( 
) 
( 
) 
(3.3) 
( 
) 
∑ ∑
 

---

 йўна 
55 
bu yerda, 
u, v 
ifodalash parametrlari (splayn funksiya argumentlari); 
sirtning geometrik xarakteristikalarini tavsiflovchi 
shakl koeffitsiyentlari. 
Mos holda 
koeffitsiyentlarni o‘z 
ichiga oluvchi 
( ) ( ) 
ifodalar yuqoridagiga o‘xshash 
ko‘rinish oladi.
 
(3.3) ifodaning mazmuni quyidagicha. 
u, v 
argumentlar splayn 
sirtida joylashgan egri chiziqli koordinatalar tizimining koordi-
natalari hisoblanadi. Unda sirtning har bir nuqtasi sonlar juftligi 
bilan beriladi. Sirtni aks ettirish uchun uning nuqtalari 
koordinatalari (3.3) yordamida ekran tekisligida joylashgan dekart 
koordinatalar tizimiga almashtiriladi. Splayn sirtning joriy nuqtasi 
CP 
ning yuqorida ta’kidlangan koordinatalar tizimlaridagi 
koordinatalar mosligi 3.12-rasmda keltirilgan.
3.12-rasm. Parametrik dekart koordinatalari orasidagi moslik. 
Sirt qirqimi shakliga cheklanishlar qo‘yish orqali ko‘p hadning 
koeffitsiyentlari topiladi. Cheklanishlar tanloviga bog‘liq holda sirt 
ifodalashning u yoki bu shaklini oladi. Misol uchun, Kuns sirti 
(xususiy holda – Ermit sirti, Fergyuson sirti) uchun cheklanishlar 
uning berilgan burchak nuqtalardan o‘tishi, hamda sirtning burchak 
nuqtalarida xususiy hosila va aralash xususiy hosilalar berilgan 
qiymatlari mosligi shartlari hisoblanadi [15]. Bu kabi chekla-
nishlardan foydalanish geometrik nuqtai nazardan tushunarli, biroq 

---

56 
tadbiqi juda murakkab. Geometrik modellashtirishning kompyuter 
tizimlarida odatda, cheklanishlar sifatida o‘n oltita tayanch 
nuqtasida berilgan biror bir ko‘p yoqli tayanch sirt (xarakteristik 
ko‘p yoq) shaklini splaynda takrorlanishidan foydalanadilar. Sirt 
tayanch nuqtalar yaqinidan yoki bu nuqtalarning o‘zidan o‘tishi 
shart, ular koordinatalarining o‘zgarishi esa sirt shaklining 
o‘zgarishiga olib keladi. Shu sababli sirt qirqimining ifodasi (3.3) 
shaklda emas, balki boshqa ko‘rinishda, ko‘p had koeffitsiyentlarini 
tayanch nuqtalar orqali ifodalanadi. Koordinatalar shaklidagi ifoda 
quyidagi ko‘rinishga ega
( ) ∑ ∑
( ) 
( ) 
( ) ∑
∑
( ) 
( ) 
(3.4) 
( ) ∑ ∑
( ) 
( ) 
bu erda, 
tayanch nuqtalarning