10–Ma’ruza. Splayn yaqinlashtirish. Splayn interpolyatsiyalash

10–Ma’ruza.


Splayn yaqinlashtirish.Splayn interpolyatsiyalash.


Reja:

1. 
   Kirish.
   
2. 
   Kubik splayn qurish.
   
3. 
   Kubik splayn bilan interpolyatsiyalash jarayonining yaqinlashishi.
   

Kirish.
Funksiyani interpolyatsion kо‘pxad yordamida yaqinlashtirish, kо‘phad yuqori tartibli bо‘lganda hisoblash xatoliklarining yig‘ilib borishi natijasida yomon yaqinlashadi. Shuning uchun oraliqni kichik oraliqlarga ajratib har birida yaqinlashtiruvchi kо‘phad kо‘rish ancha yaxshi natija berishi aniqlandi. Har bir bо‘lakda kо‘phaddan iborat va ma’lum tartibli uzluksiz hosilalarga ega bо‘lgan funksiya splayn deb aytiladi. Splayn yakinlashtirish kо‘pxad bilan yaqilashtirishdan afzalligi shundan iboratki u:
birinchidan: funksiyaga yaqinlashadi,
ikkinchidan: hisoblash jaryoni turg‘undir.


1.Kubik splaynni qurish.
Faraz qilamiz da aniqlangan uzluksiz funksiya berilgan bо‘lsin.

tо‘rni aniqlab, kabi belgilaymiz. funksiyaga va tugun nuqtalarga mos splayn deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaga aytiladi:
1) har bir segmentda funksiya uchinchi darajali kо‘pxad;
2) funksiya va uning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari da uzluksiz;
3)
Oxirgi shart interpolyatsiyalash shartlari deb aytiladi, splayn esa interpolyatsiyalaydigan splayn deb aytiladi. Yuqorida qayd etilgan splayn mavjud va yagonaligini isbot qilamiz. quyida keltiriladigan isbot splaynni qurish usulini ham aniqlaydi.
Har bir kesmada, ni
(1)
kо‘rinishda qidiramiz.
Bu yerdagi koeffitsiyentlar aniqlanishi lozim bо‘lgan noma’lum koeffitsiyentlar ma’nosini aniqlaymiz.


tengliklarga egamiz, shuning uchun

interpolyatsiya shartlaridan

larni hosil qilamiz. deb aniqlaymiz. ning uzluksizlik shartidan

Bundan, ifodasini inobatga olib uchun

tengliklarni hosil qilamiz.

deb belgilab, bu tenglamalarni
(2)
kо‘rinishlarda yozib olamiz.
Birinchi tartibli hosilaning uzluksizligi
(3)
tenglamalarga olib keladi.
Ikkinchi tartibli hosilaning uzluksizligidan
(4)
tengliklar hosil bо‘ladi. (2)-(4) tengliklarni birlashtirib

noma’lumlarga nisbatan ta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Ikkita yetmaydigan tenglamani hosil kilish uchun ga u yoki bu chegaraviy shartlar qо‘yadilar. Masalan deb olish mumkin. Unda bо‘lishini talab qilish tabiiydir. Bundan , ya’ni tenglamalar hosil bо‘ladi. shartdan bо‘lganda (4)-bilan bir xil bо‘ladi. Shunday qilib, kubik splaynning koeffitsiyentlarini aniqlash uchun quyidagi yopiq sistemaga kelamiz:


₍₅₎
(6)
(7)
Bu sistemaning yagona yechimga ega ekanligiga ishonch hosil qilamiz. (5)-(7) sistemadan noma’lumlarni yо‘qotib, faqat noma’lumlar qatnashadigan sistemani hosil qilamiz. Buning uchun (7)-tenglamalardan ikki qо‘shnilarini qaraymiz:

Birinchi tenglamadan ikkinchini ayirib

tenglikni hosil qilamiz.
ayirma uchun topilgan ifodani (6) ning о‘ng tomoniga qо‘yib,
yoki

tenglikni hosil qilamiz.
(5)-tenglikdan

tengliklarni hosil qilib, bularni (8) ga qо‘ysak

tenglik hosil bо‘ladi. koeffitsiyentlarni aniqlash uchun

tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu sistema matritsasining diagonal elementlari boshqa elementlarga nisbatan ancha katta bо‘lganligi uchun uning yechimi mavjud va yagonadir. Bu sistema uch diagonalli bо‘lganligi uchun progonka usulida yechish mumkin. Bu holda progonka metodi turg‘undir. Aniqlangan bо‘yicha va koeffitsiyentlarni oshkor formulalar kо‘rinishida yozish mumkin
(10)
Shunday qilib, (1)-(3) va chegaraviy shartlar bilan aniqlanadigan yagona splayn mavjudligi kо‘rsatildi.
Boshqa chegaraviy shartlar bilan ham masalani qarash mumkin ekanligini ta’kidlaymiz.