3D modellashtirish va raqamli animatsiya

4.1. Sirtlarni tasvirlash modellari
 
Kompyuter grafikasi tizimlarida uch o‘lchovli obyekt 
shakllarini tasvirlashni ko‘rib chiqaylik. Sirt shakllarini tasvirlash 
uchun har xil usullardan foydalanish mumkin.
 
Analitik model 
Sirtlarni matematik formulalarda tasvirlashni analitik model 
deb ataymiz. Kompyuter grafikasida bunday tasvirlashning turli xil 
ko‘rinishlaridan foydalanish mumkin. Misol uchun, ikkita argu-
mentning funksiyasi 
( )
ko‘rinishida yoki 
( )
tenglama ko‘rinishida. 
Ko‘p hollarda sirtni tasvirlashning parametrik formasi 
ishlatiladi. Uch o‘lchovli dekart koordinatalar sistemaci 
( )
uchun quyidagi formulani yozamiz: 
( ) 
( ) 
( )
bu erda, 
va 
lar ma’lum oraliqda o‘zgaruvchi parametrlar, 
funksiyalar sirt shaklini aniqlaydi. 
Parametrik tasvirlashning afzalligi bir qiymatli bo‘lmagan 
funksiyalarga 
mos 
keluvchi 
yopiq 
sirtlarni 
tasvirlashning 
qulayligidir. Tasvirlarni shunday qilish mumkinki, sirtlarni 
burganda, o‘lchamlarini o‘zgartirganda formuladagi o‘zgarishlar 
sezilarli bo‘lmaydi. Misol sifatida shar sirtini analitik tasvirini 
ko‘raylik. Boshida ikkita argumentning funksiya sifatida: 

---

69 
√ 
keyin tenglama ko‘rinishida: 
hamda parametrik shaklda: 
, 
, 
. 
Murakkab sirtlarni tasvirlash uchun splaynlardan foydalaniladi. 
Splaynlar bu maxsus funksiya bo‘lib, sirtning alohida fragmentlarini 
approksimatsiyalash uchun kerak bo‘ladi. Bir nechta splaynlar 
murakkab sirt modelini hosil qiladi. Boshqacha aytganda, splayn – 
bu ham sirt bo‘lib,uning nuqtalari koordinatalarini hisoblash ancha 
sodda amalga oshiriladi. Odatda, kubik splaynlardan foydalaniladi. 
Nima uchun aynan kub splaylar? Bunga sabab, uchinchi daraja 
ixtiyoriy shaklni tasvirlashga imkon beruvchi darajalardan eng 
kichigi ekanligi, splaynlarni ulashda birinchi tartibli uzluksiz 
hosilani ta’minlash mumkinligi, ya’ni bunday sirtlarda ulanish 
joylarida uzilishlar bo‘lmaydi. Ko‘p hollarda splaynlar parametrik 
beriladi. 
( )
komponentasi uchun kubik splayn formulasini 
va 
parametrlarining uchinchi darajali ko‘phadi ko‘rinishida yozamiz: 
( )
. 
Matematikaga oid adabiyotlarda berilgan xossaga ega splaynlar 
uchun 
koeffitsiyentlarni aniqlash usullari bilan tanishish 
mumkin. Splayn ko‘rinishlaridan biri Beze splaynini ko‘ramiz. 
Avval uni umumiy shaklda –
darajalari ko‘rinishida 
keltiramiz. 
( ) ∑ ∑
( )
( )
Bu erda, 
– tayanch nuqtalar mo‘ljal: 
– Nyuton binomi koeffitsiyentlari va ular quyidagi formula 
bilan hisoblanadi: 

---

70 
( ) 
Bezening kubik splayni 
qiymatlarga mos keladi. 
Uning aniqlanishi uchun 16 ta 
tachnch nuqtalari zarur bo‘ladi. 
qiymatlar uchun
lar 1, 3, 3, 1 ga teng 
bo‘ladi. 
4.1-rasm. Bezening kubik splayni. 
Analitik modelni aniqlab shuni aytish mumkinki, bu model 
sirtni tahlil qilishdagi ko‘pgina amallar uchun juda qulaydir. 
Kompyuter grafikasi nuqtai nazaridan bu modelning ijobiy 
qirralarini ko‘rsatish mumkin: sirtning har bir nuqtasi koordinatasini 
va normalini hisoblash amalining soddaligi; yetarlicha murakkab 
shaklni tasvirlash uchun axborotlar oqimining kichikligi. 
Uning kamchiliklari sifatida quyidagilarni keltirish mumkin: 
kompyuterda sekin hisoblanuvchi funksiyadan foydalanib tasvir-
lanadigan 
murakkab 
formulalar 
tasvirlash 
operatsiyalarning 
bajarilish tezligini sekinlashtiradi; ko‘pgina hollarda bu shakllarni 
bevosita sirtlarning tasvirini qurish uchun qo‘llab bo‘lmasligi. Bu 
hollarda sirt ko‘pyoq sifatida aks etadi, tasvirlash jarayonida qirra 
uchlari koordinatalarini hisoblash uchun analitik tasvirlash 
formulalaridan foydalaniladi, bu esa poligonal model tasviriga 
nisbatan sekin bo‘ladi. 
 

---

71