3 Глава Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической физики

Метод Эйлера (метод Рунге-Кутты первого порядка)

Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Этери. Это один из самых старых и широко известных методов. Метод Эйлера является сравнительно грубым методом решения дифференциальных уравнений, однако идеи, положенные в его основу, являются, по существу, исходными для очень широкого класса численных методов.
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения первого порядка 
с начальным условием 
т. е. необходимо решить задачу Коши.
В окрестности точки х₍₎ функциюу(х) разложим в ряд Тейлора:

который можно применить для приближенного определения искомой функции у(х). В точке х₍₎ + h при малых значениях h можно ограничиться двумя членами ряда (8.7), тогда

где 0(1г²) - бесконечно малая величина порядка /г². Заменим производную y'(x_Q), входящую в формулу (8.7), на правую часть уравнения (8.5):

Теперь приближенное решение в точке х_{ =x_Q + h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (8.9) найти значение искомой функции в следующей точке х₀=х_{ + h. В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера, или методом ломаных.
Метод Эйлера можно представить в виде последовательного применения формул:
для точки 
Таким образом, формула Эйлера в общем случае имеет вид:

Название «метод ломаных» связано с его геометрической интерпретацией. Искомая функция >{л') заменяется ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах х₍₎, х_п. Выведем формулы на основе геометрических аналогий. Предположим, что нам известна точка (x₀, у₀) на искомой интегральной кривой (см. рис. 8.1).

Рис. 8.1
Через точку (х«, у₀) проведем касательную с тангенсом угла наклона:   Уравнение касательной имеет вид: 
Тогда в точке X] =л'₍₎ + h, с учетом (8.13), получим решение:

Ошибка решения в точке x=x_t показана в виде отрезка Д.
Формула (8.12) является методом Рунге-Кутты первого порядка, т. к. она согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h^l.
Метод Эйлера имеет довольно большую погрешность вычисления: Д«0(И). Кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым - малая ошибка (например, заложенная в исходных данных) увеличивается с ростом х. На рис. 8.2 приведена блок-схема метода Эйлера, в приложении - программа расчета.

Рис. 8.2. Блок-схема метода Эшера
Пример 8.1. Для химической реакции

Изменение концентраций веществ А и В можно описать следующими кинетическими уравнениями:

с начальными условиями:

Требуется получить зависимость изменения концентрации вещества А от времени, т. е. необходимо решить дифференциальное уравнение (решить задачу Коши).
Исходные данные:
G, о=1 моль/л;
Св. о⁼ 0;
к=0,2 с интервал интегрирования /=[0, 5].
Обозначим С_А =у, тогда

Примем величину шага h = 0,1. Решим данное уравнение методом Эйлера (8.12).