3 Глава Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической физики

Глава 1. Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической физики.

1. Пример из механики

Параллельные вычисления — способ организации компьютерных вычислений, при котором программы разрабатываются как набор взаимодействующих вычислительных процессов, работающих параллельно (одновременно). Термин охватывает совокупность вопросов параллелизма в программировании, а также создание эффективно действующих аппаратных реализаций. Теория параллельных вычислений составляет раздел прикладной теории алгоритмов^[1].
Существуют различные способы реализации параллельных вычислений. Например, каждый вычислительный процесс может быть реализован в виде процесса операционной системы, либо же вычислительные процессы могут представлять собой набор потоков выполнения внутри одного процесса ОС. Параллельные программы могут физически исполняться либо последовательно на единственном процессоре — перемежая по очереди шаги выполнения каждого вычислительного процесса, либо параллельно — выделяя каждому вычислительному процессу один или несколько процессоров (находящихся рядом или распределённых в компьютерную сеть).
Основная сложность при проектировании параллельных программ — обеспечить правильную последовательность взаимодействий между различными вычислительными процессами, а также координацию ресурсов, разделяемых между процессами.
В некоторых параллельных системах программирования передача данных между компонентами скрыта от программиста (например, с помощью механизма обещаний), тогда как в других она должна указываться явно. Явные взаимодействия могут быть разделены на два типа:
Взаимодействие через разделяемую память: на каждом процессоре мультипроцессорной системы запускается поток исполнения, который принадлежит одному процессу. Потоки обмениваются данными через общий для данного процесса участок памяти^[2]. Количество потоков соответствует количеству процессоров. Потоки создаются либо средствами языка (например, в Java или C#, C++ (начиная с C++11), C (начиная с C11)), либо с помощью библиотек явно (например, в С/C++ с помощью PThreads), либо декларативно (например, с помощью библиотеки OpenMP), или автоматически встроенными средствами компилятора (например, High Performance Fortran). Данный вид параллельного программирования обычно требует какой-то формы захвата управления (мьютексы, семафоры, мониторы) для координации потоков между собой.
Рассмотрим пример, в котором одномерный массив из трех типов частиц, взаимодействующих при помощи жестких пружин, описы- вается системой дифференциальных уравнений

m₁u¨_n
= −k(v_n
^{+ w}n−1
— 2u_n
) − f ⁽¹⁾(t),

n
m₂v¨_n
= −k(w_n
+ u_n
— 2v_n
) − f ⁽²⁾(t),
(1)

n
m₃w¨_n
= −k(u
n+1
+ v_n
— 2w_n
) − f ⁽³⁾(t),

n

n

n

n
представляющей собой результат применения второго закона Нью- тона, где u_n, v_n, w_n суть вертикальные смещения частиц, m₁, m₂, m₃ их массы, k является общей жесткостью пружин, f ⁽¹⁾, f ⁽²⁾, f ⁽³⁾

± ± ±∞
суть внешние силы и n = 0, 1, 2, ..., . Происхождение этой
системы уравнений можно проиллюстрировать с помощью аппрок- симации конечными разностями хорошо известного уравнения ко- лебаний струны (см. [6], [7])

ρu¨ = Tu_xx + F (t, x),
T

mu¨_n =
_h (u_n+1 + u_n−1 − 2u_n) + f_n(t), m = ρh, f_n(t) = hF (t, x_n),
^un+1^−un ₋ ^un^−un−1

−
Мы предполагаем, что временная зависимость внешних сил име- ет вид гармонической функции exp( iωt) с частотой ω. Пользуясь трансляционной инвариантностью предположим, что

n
f ^(j)(t) = f_j exp(−iωt + iKLn),
где j = 1, 2, 3, K является «квазиимпульсомk - свободным парамет- ром (−π/L < K < π/L), L - период массива. Мы ищем решение

Эту систему можно решить методом Крамера