3 Глава Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической физики

Метод гауссовых исключений с перестанов- кой строк

k+1,k+1
Что делать, если на одном шаге ведущий элемент a^(k) = 0?
Теорема утверждает, что если det A 0, существует матрица пере-
становок P , такая что матрица PA имеет все основные миноры, не равные нулю, следовательно PA = LU .
Основная идея исключения по Гауссу с перестановкой стро- кой заключается в том, что на каждом шаге процедуры исклю- чения неизвестных мы осуществляем перестановку строк с i, i = k + 1, ..., n, таким образом, что мы имеем старший элемент a^(k) максимальный по модулю. Мы ищем строку i с максимальным

| |
a_i,k+1 , i = k + 1, ..., n (см. (9)), а затем осуществляем перестановку между строками k + 1 и i. Наконец, получим
^{L = L}n^Ln−1^Pn−1,j_n−1^...L1^P1,j₁^A,

−
где P_k,jk с k = 1, ..., n 1, является матрицей перестановки строк. Например, если n = 3,
обеспечивают перестановку между строками 1 и 2, 2 и 3, 1 и 3.

6. Численный расчет матрицы определителя и обратной матрицы

Используя LU разложение, легко вычислить определитель матри- цы
det A = ± det(PA) = ± det(LU ) = ± det L det U
= ± det L = ±l₁₁l₂₂...l_nn.
Если A⁻¹ является матрицей, обратной по отношению к A, то- гда AA⁻¹ = I, где I - единичная матрица. Обозначим X = A⁻¹. На самом деле мы имеем n² систем линейных алгебраических уравне-
ний

Σ
n
^aik^xkj ^{= δ}ij^,

k=1
или Ax^(j) = δ^(j), где x^(j) = (x_1j, x_2j, ..., , x_nj)^T и δ^(j) = (δ_1j, ..., δ_nj)^T ,
i, j = 1, ..., n. С помощью разложения A = LU мы должны сначала

Глава 2. Методы Рунге-Кутты и другие методы

1.1 Методы Рунге-Кутты

Широкая категория методов, наиболее часто применяемых на практике для решения дифференциальных уравнений, известна под общим названием методы Рунге-Кутты. Различные методы этой категории требуют большего или меньшего объема вычислений и соответственно обеспечивают большую или меньшую точность.
Методы Рунге-Кутты обладают следующими отличительными свойствами:
• эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти значение
функции в точке у,+| нужна информация только о предыдущей точке (у„ х,);

• 
  • они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h^k, где степень к определяет порядок метода;
  
• 
  • эти методы не требуют вычисления производных отДх,у), а требуют вычисления самой функции.
  

Именно благодаря последнему свойству методы Рунге-Кутты более удобны для практических вычислений.