Пример применения метода Гаусса
Для решения системы (4) мы также можем использовать метод Гаусса - метод последовательных исключений неизвестных. Рас- смотрим пример:
x1 + x2 + 3x4 = 4, 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1,
3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −3,
−x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4,
Теперь рассмотрим обратные замены:
−13x4 = −13, ⇒ x4 = 1, 3x3 + 13x4 = 13 ⇒ x3 = 0,
−x2 − x3 − 5x4 = −7, ⇒ x2 = 2,
Метод исключения Гаусса в общем случае
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнения
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = f1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = f2,
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = fn,
который в матричной форме выглядит так: Ax = f
(6)
.
ǁ ǁ
Здесь A = aij - матрица с индексами i, j = 1, .., n, x =
/
(x1, x2, ..., xn)T и f = (f1, f2, ..., fn)T суть векторы. Вектор x неизве- стен. Предположим, что det A = 0.
≈
Если n имеет большое значение, то методом Крамера потребу- ется много времени для выполнения вычислений, приблизительное количество операций имеет порядок n!. Напротив, метод Гаусса го- раздо быстрее, так как ему нужно приблизительно n3/3 операций. Для примера, если n = 10, тогда 10! = 3628800 в сравнении с 103/3 333. Таким образом метод исключений Гаусса более эф- фективен при численном анализе.
После n шагов по прямому устранению неизвестных мы полу- чаем систему с верхней треугольной матрицей U
Сделав следующий шаг, получим
0 + a
k+1 ,n
k+1
( k)
k+1 ,k+1
xk+1 + ... + a(k)
xn = f (k) ,
(9)
xk + uk,k+1xk+1 + ... + ukn xn = yk,
улы представляют собой первую часть алгоритма. Они описывают последовательное исключение неизвестных xi. Неиз- вестные могут быть легко найдены из полученной системы с по-
≤ ≤ −
для 1 i n 1, если i = n, мы имеем xn = yn. Эти формулы обеспечивают вторую часть алгоритма. Используя этот алгоритм, мы можем построить компьютерный код.
Решение уравнений методом Гаусса
Пример №1 решение уравнений методом Гаусса:
С первой строки определяем х. Сначала -2у переносим на другую сторону уравнения, а затем обе стороны делим на 4.
Теперь во второе уравнение системы подставляем значение х. Находим у.
Теперь когда у нас есть значение у, ми возвращаемся в первое уравнение и определяем х.
Ответ: x=−54;y=32x=−54;y=32
Пример №2.
Для упрощение перепишем уравнение так, чтобы на первом месте была строка с коэффициентом 1.
Теперь последовательно исключаем x1x1 с последующих строк. Для исключения с второго уравнения обе части первого уравнение надо умножаем на -3, а затем сложить с вторым.
Так же и с третьим уравнением, только умножение на -4.
Теперь приводим уравнение к ступенчатому виду. Нужно сделать так, чтобы во второй строке возле x2x2 стала 1. Значит нам надо обе части уравнения умножить −14−14
Для того чтобы избавится от x2x2 в третьим уравнении, мы множим вторую строку на 5 и слаживаем её с третьей.
Теперь с третьей строки находим x3x3.
Мы закончили прямой ход метода Гаусса. Теперь приступаем к обратному ходу. Подставляем значение х 3 во вторую строку и вычисляем x2x2
Подставляем значение x2иx3x2иx3 в первое уравнение и вычисляем x1x1.
⎧⎪⎨⎪⎩x1=1x2=2x3=3{x1=1x2=2x3=3
Ответ: x1=1,x2=2,x3=3
Do'stlaringiz bilan baham: |