3 Глава Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической физики

Оглавление

Введение 3
Глава 1. Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической физики. 6
1.1Пример из механики 6
1.2Пример применения метода Гаусса 8
1.3Метод исключения Гаусса в общем случае 9
Решение уравнений методом Гаусса 10
1.4LU разложение матриц 12
1.5Метод гауссовых исключений с перестанов- кой строк 14
1.6Численный расчет матрицы определителя и обратной матрицы 14
Глава 2. Методы Рунге-Кутты и другие методы 16
1.1 Методы Рунге-Кутты 16
Метод Эйлера (метод Рунге-Кутты первого порядка) 16
2.2 Метод Гаусса 22
2.3 Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса 24
2.4 Методы Адамса 28
Заключение 34
Литература 35

Введение

В пособии излагаются основы численных методов решения задач алгебры, анализа, дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных (задач математической физики). Изложен- ный материал предназначен для студентов университетов, будущих математиков, физиков и инженеров, специализирующихся в обла- сти прикладной математики, вычислительной физики и компью- терного моделирования. Изложение материала в пособие основано на курсе лекций, который читался авторами в течение ряда лет студентам факультетов физико-технического, фотоники и оптоин- форматики, начиная с 2017 года, а также студентам инженерно- механического факультета Саутгемптонсого университета в Вели- кобритании.
При изложении описания численных методов изучаются вопро- сы построения, применения и теоретического обоснования алгорит- мов приближенного решения различных классов математических задач как основы компьютерного моделирования. В настоящее вре- мя большинство вычислительных алгоритмов уже ориентировано на использование быстродействующих компьютеров и компьютер- ных кластеров. Изучение численных методов можно охарактеризо- вать некоторыми особенностями. Для них характерна множествен- ность, так как можно решать одну и ту же задачу разными ме- тодами. Это очень важно, так как в большинстве случаев в мате- матическом и компьютерном моделировании точные решения за- дач отсутствуют и проверить полученное решение задачи одним численным методом можно только с помощью альтернативного ал- горитма. Возникающие новые научные задачи и быстрое развитие вычислительной техники стимулируют переоценку мощности суще- ствующих алгоритмов и приводят к созданию новых. Авторы посо- бия поставили перед собой задачу собрать минимальный материал, достаточный для дальнейшей научной работы студентов и выпуск- ников вузов в области применения и развития вычислительных ме- тодов.
Наибольшее внимание уделяется фундаментальным разделам численных методов – численному решению систем линейных алгеб- раических уравнений и разностным методам решений задач мате-
матической физики. Многие интересные и важные методы изложе- ны недостаточно полно или совсем не вошли в пособие. За рамками остались такие этапы компьютерного моделирования, как построе- ние математической модели, программирование и организация вы- числений. Не вошли в материал изложения современные методы обработки сигналов.
Изложение материала численных методов в пособии начинает- ся с описания традиционных вычислительных методов, таких как прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебра- ических уравнений, интерполирование и аппроксимация функций, численное интегрирование, решение нелинейных уравнений, мето- ды решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера применения метода Нютона рас- смотрено численное решение обратной задачи определения диэлек- трической проницаемости слоя по данным рассеяния. Далее обсуж- дается решение краевой задачи для обыкновенных дифференци- альных уравнений второго порядка, полученное на основе метода конечных разностей. С помощью этого алгоритма описывается ре- шение для построения дисперсионных зависимостей для задачи рас- пространения волн в одномерном фотонном кристалле, хорошо из- вестной в оптике, акустике и радиофизике. На основе этого алгорит- ма описана численная процедура нахождения спектра и волновых функций электронов в атоме водорода. Далее рассматриваются раз- ностные методы решения смешанных задач математической физи- ки для эллиптических, параболических и гиперболических уравне- ний в частных производных. Здесь изложение строится на простых и важнейших примерах уравнений Пуассона, теплопроводности и волнового уравнения. Большое внимание уделяется принципам по- строения разностных схем для широкого спектра задач, методам
решения сеточных уравнений, исследованию их устойчивости и схо- димости, анализу погрешностей. Положительным моментом мате- риала, изложенного в пособии, является описание методов Ритца и Галеркина как для краевых задач обыкновенных дифференци- альных уравнений второго порядка, так и для для краевых задач дифференциальных уравнений второго порядка в частных произ- водных эллиптического типа. После этого приводится введение в метод конечных элементов для уравнения Лапласа в прямоуголь- ной области. В заключительной части присутствует кратко изло- женный материал для хорошо известного и популярного в теории распространения волн в оптике, акустике и радиофизике, метода граничных интегральных уравнений Фредгольма. Рассматривают- ся с помощью этого метода задачи рассеяния плоской электромаг- нитной волны на бесконечном идеально-проводящем цилиндре и тонком проводе конечной длины.