22-mavzu aniq integral va uning asоsiy хоssalari

5.11-rasm. intervalni qadam bilan bo‘lish.
Agar interval turli xil uzunlikdagi qism intervallarga bo‘lingan bo‘lsa, funksiya grafigi ostidagi figuraning yuzini
(5.55)
formula yordamida taqribiy hisoblash mumkin. Biz ni shunday olishimiz kerakki, natijada barcha qism intervallarning uzunliklari nolga intilsin. Biz dan shu maqsadda foydalanamiz. Shunda biz funksiya grafigi va interval orasida joylashgan yuzani
(5.56)
formula yordamida topamiz.
Bu ifodada qatnashayotgan limit integral hisobning eng muhim tushunchalaridan biri bo‘lib, u quyidagi ta’rifni kiritishga olib keladi.
Ta’rif 5.2. Integrallanuvchanlik
Agar limit mavjud bo‘lsa va u bo‘linish intervalni qism intervallarga bo‘linishiga yoki qism intervallardagi sonlarga bog‘liq bo‘lmasa, funksiya chegaralangan yopiq intervalda integrallanuvchi deyiladi. Bu holda

belgi funksiyadan dan gacha aniq integral deyiladi. va sonlari integralning mos ravishda quyi va yuqori chegaralari va funksiya integrant deyiladi.
Tarixan shunday bo‘ldiki, integral belgisidagi ifoda balandligi va eni cheksiz kichik bo‘lgan cheksiz kichik to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzasini bildiradi. Shu ko‘rinishdagi cheksiz kichik yuzalarni yig‘ib, biror egri chiziq ostidagi yuza topiladi. Ana shu yuzani anglatish uchun belgidan foydalanilgan, belgi esa aniq integral haqiqatan ham yig‘indining dagi limiti ekanligini eslatib turish uchun kerak. 5.2-ta’rifdagi yig‘indi Riman yig‘indisi deyiladi va ba’zan aniq integral integral hisobning ko‘pgina asoslarini yaratgan mashhur nemis matematigi Bernxard Riman sharafiga Riman integrali ham deb ataladi.
Teorema 5.4. Uzluksizlik va integrallanuvchanlik
Agar funksiya intervalda uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya intervalda integrallanuvchi bo‘ladi.
Biz bu teoremadan aniq integral va limit yordamida hisoblanayotgan yuza orasidagi bog‘lanishni topishda foydalanamiz. funksiyani intervalda uzluksiz deb faraz qilamiz. funksiyaning grafigi va interval orasida joylashgan yuzani esga olaylik
(5.57)
Boshqa tomondan, 5.4-teorema va 5.2-ta’rifdan foydalanib, da ning aniq integralini hisoblashda ning regulyar bo‘linishlaridan foydalanishimiz mumkin
. (5.58)
Ikkala limitlar bir xil bo‘lganligi uchun
. (5.59)
Boshqacha aytganda, uzluksiz funksiyadan dan gacha olingan aniq integral funksiyaning grafigi va interval orasidagi ishorali yuzaga teng. Albatta, agar nomanfiy funksiya bo‘lsa, u holda aniq integral funksiyadan pastda va intervaldan yuqorida turgan yuzaga teng.