22-mavzu aniq integral va uning asоsiy хоssalari

Ta’rif 5.4. Integral qiymatining chegaralari.
intervalda aniqlangan funksiya berilgan bo‘lsin. Agar shunday bir musbat soni topilsaki, dagi barcha larda qo‘sh tengsizlik bajarilsa, funksiya intervalda chegaralangan deyiladi. Geometrik nuqtai nazardan, intervalda funksiyaning grafigi va to‘g‘ri chiziqlar orasida yotadi.

5.13-rasm. intervalda chegaralangan funksiya.
Masalan, uzluksiz funksiya har qanday chekli yopiq intervalda chegaralangan, shuning uchun funksiyaning ekstremal qiymati haqidagi teoremaga binoan, agar funksiya chekli yopiq intervalda uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya da o‘zining absolyut maksimum va absolyut minimum qiymatlariga ega bo‘ladi, bundan funksiyaning intervalda absolyut maksimum va absolyut minimumga ega ekanligi kelib chiqadi; demak, agar biz ni etarlicha qatta qila olsak, u holda funksiyaning grafigi va to‘g‘ri chiziqlar orasida yotadi. Aksincha, agar funksiya intervalning ichida vertikal asimptotaga ega bo‘lsa, u funksiya shu intervalda chegaralanmagan bo‘ladi, chunki sonini qanchalik katta olmaylik funksiyaning grafigini bu oraliqda va to‘g‘ri chiziqlar orasiga joylashtirib bo‘lmaydi. Quyidagi teoremada uzilishga ega bo‘lgan funksiyalarni integrallash bilan bog‘liq faktlar keltirilgan.
Teorema 5.8. Uzilishga ega bo‘lgan funksiyalarni integrallash.
funksiya chekli yopiq intervalda aniqlangan bo‘lsin.
a) agar funksiya da chekli sondagi nuqtalarda uzilishga ega bo‘lib, da chegaralangan bo‘lsa, u holda funksiya da integrallanuvchi bo‘ladi.
b) Agar funksiya da chegaralanmagan bo‘lsa, u holda funksiya
da inttegrallanuvchi bo‘lmaydi.