22-mavzu aniq integral va uning asоsiy хоssalari

5.3.3.3 Integral hisob asosiy teoremasining 2-qismi.
5.2-bo‘limda biz funksiyani da uzluksiz va nomanfiy deb faraz qilgan edik, va agar funksiya intervalda funksiya ostidagi yuza bo‘lsa, u holda bo‘ladi deb hisoblagan edik. Ammo funksiya aniqmas integral ko‘rinishida ham tasvirlanishi mumkin
(5.80)
bu erda integralning yuqori chegarasida turgan bilan chalkashtirib yubormaslik uchun ni integrallash o‘zgaruvchisi sifatida oldik. Shunday qilib, tenglik
(5.81)
ko‘rinishda yozilishi mumkin.
funksiya manfiy qiymatlarni qabul qilganda ham o‘rinli bo‘ladigan umumiyroq natijani keltiramiz.
Teorema 5.11. Integral hisobning asosiy teoremasi 2-qism.
Agar funksiya intervalda uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya intervalda boshlang‘ichga ega. Xususan, agar dagi biror son bo‘lsa, u holda

formula yordamida aniqlangan funksiya funksiyaning dagi boshlang‘ichi bo‘ladi; dagi har bir da tenglik o‘rinli yoki

tenglik o‘rinli.
Isbot 5.11. Avvalo biz funksiyaning dagi har bir da aniqlanganligini ko‘rsatamiz. Agar bo‘lsa va ga tegishli bo‘lsa, u holda 5.4-teoremani intervalga qo‘llash mumkin bo‘ladi va funksiyaning dagi uzluksizligi funksiyaning aniqlanganligini kafolatlaydi; va agar intervalga tegishli va bo‘lsa, u holda 5.3-ta’rif 5.4-teorema bilan birgalikda funksiyaning aniqlanganligini qafolatlaydi. SHunday qilib, funksiya dagi barcha larda aniqlangan.
Endi dagi barcha larda tenglik o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Agar ning chetki nuqtasi bo‘lmasa, u holda hosilaning ta’rifidan kelib chiqadi:

. (5.82)
Integralning o‘rta qiymati haqidagi teoremani ga qo‘llab, topamiz , (5.83)
bu erda soni va orasidagi biror son. soni va orasidagi son bo‘lganligi uchun da bo‘lishi kelib chiqadi. SHunday qilib, funksiyani da uzluksiz deb faraz qilganligimiz uchun da bo‘ladi. SHunday qilib, (5.82) va (5.83) dan kelib chiqadi:
.
Shuni isbotlash talab etilgan edi.
Agar ning chetki nuqtasi bo‘lsa, u holda isbotdagi ikki tomonli limitlar o‘rniga bir tomonli limitlar olinadi, ammo ularning argumentlari bir xil bo‘lishi kerak.