2-Mavzu: Uzluksiz tasodifiy miqdorlar. Reja. Taqsimot funksiya va uning xossalari

Yechish. hodisaning ro‘y berish sonini anglatuvchi tasodifiy miqdorni X desak, u qiymatlarni ehtimollar bilan qabul qilishi bizga ma’lum. Matematik kutilmaning ta’rifiga ko‘ra

.

2-misol. Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini topamiz.

Yechish. Bu holda



ekanligi ma’lum. Ta’rifga asosan

.

SHunday qilib, biz Puasson taqsimot qonunidagi parametrning ehtimoliy ma’nosini topdik: parametr tasodifiy miqdorning matematik kutilmasiga teng.

3-misol. oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi shu oraliqning markazi bo‘ladi.

4-misol. parametrli normal qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini topamiz.

Yechish. Ta’rifga ko‘ra



Iitegralni hisoblash uchun almashtirishni bajaramiz. U

holda

.

Hosil qilingan integrallardan birinchisi integral ostidagi funksiya toq, bo‘lganligi sababli nolga teng. Ikkinchi qo‘shiluvchi matematik tahlil kursidan ma’lum bo‘lgan Puasson integralidir. Demak, .

Shunday qilib, normal taqsimot qonunidagi parametrning ehtimoliy ma’nosini aniqladik: parametr tasodifiy miqdorning matematik kutnlmasiga teng.

Agar pog‘onasimon funksiya bo‘lsa, (1) dagi Stiltes integrali ushbu

qatorga aylanishi oldindan bizga ma’lum.

Agar taqsimot funksiya taqsimot zichlikka ega bo‘lsa, u holda

SHu sababli to‘g‘ri chizikda birlik massa taqsimotlari «og‘irlik markazi» ning koordinatasidir.

Agar Borel funksiyasi bo‘lsa, u holda
tasodifiy miqdor bo‘ladi va



^{Oxirgi tenglik (1) munosabatdan kelib chiqadi.}

Matematik kutilmaning asosiy xossalari integralning xossalari bilan mos keladi:

^{Ml. Agar S-o‘zgarmas son bo‘lsa, u holda MS=S.}

M2. MX, MY va M(X+Y) larning ixtiyoriy ikkitasi mavjud bo‘lsa, u holda ushbu tenglik o‘rinli bo‘ladi.

^{M3. Agar S-o‘zgarmas son bo‘lsa, u holda .}

M4. tengsizlik o‘rinli.

M5. Agar bo‘lsa, bo‘ladi.

M6. Agar va bo‘lsa, u holda tenglik 1 ehtimol

bilan bajariladi.

M7. hodisaning ehtimolini matematik kutilma terminida

tenglik bilan yozish mumkin, bu yerda

Tasodifiy miqdorlarning yana bir sonli xarakteristikasini kiritamiz.