2-боб. ТЎпламлар ва муносабатлар

МИСОЛЛАР

1.А тўплам сифатида барча кино залидаги томошабинлар тўпламини олайлик. В тўплам сифатида эса залдаги барча стуллар тўпламини олайлик. Ҳар бир томошабинга, ўша киши (томошабин) ўтирган стулни мос қўяйлик. Агар кинозалда бўш стуллар топилса, у ҳолда бу мослик инъектив акслантириш, агар кинозалда барча стулларда томошабинлар бўлса, биеъктив акслантириш бўлади. (Бунда томошабинлар сони, стуллар сонидан кўп эмас деб фараз қилинади).

2.:RR₀ акслантиришни, хR учун (х)=е^х кўринишда аниқлайлик. Бу акслантириш биъектив акслантиришдир. (Буни ростлигини аниқлашни китобхонга топширамиз).
3.:ZN₀ акслантиришни куйидагича аниқлайлик

Бу акслантириш биъективдир, ҳақиқатдан ҳам:
1)Суръективлиги: аN₀ сони  акслантиришга нисбатан прообрази мавжуд бўлиб, у агар жуфт сон бўлса, унинг прообрази а/2, у агар нол бўлса, унинг прообрази 0, агар у тоқ бўлса, унинг прообрази -(а=1)/2 бўлади.
2) Инъективлиги: a, bZ учун, агар а0, b0, аb бўлса, f(a)2a ва f(b)=2b ўринли бўлиб, f(a)f(b).
Агар а<0, b<0 ва ab бўлса, f(a)=2 a-1 ва f(b)=2b-1 ўринли бўлиб, яна f(a)f(b) бажарилади.
Агар а0 ва b<0 бўлса, у ҳолда f(a)=2a ва f(b)=2b-1 ўринли бўлиб, f(a)f(b). Ҳақиқатдан ҳам, фараз қилайлик f(a)=f(b) бўлсин. У ҳолда 2а-1=2b-1 бўлади. Охирги тенгликни бажарилмаслиги равшан ва демак қилинган фараз нотўғри, яъни f(a)f(b). қолган барча ҳолларни текширишни китобхонга топширамиз.
4. А тўпламни ўз устига биъектив акслантирадиган акслантиришга мисол бўлиб, унинг ҳар бир элементини ўз-ўзига ўтказадиган акслантириш ҳисобланади. Уни айний акслантириш дейилиб, _А символ билан белгиланади. Шундай қилиб, аА, _Аа=а. Агар f акслантириш чекли А тўпламни чекли тўпламга биъектив акслантирган бўлса, равшанки А=В бўлади.
Табиий n элементли А тўпламни n элементли В тўпламга неча хил усул билан биъектив акслантириш мумкин деган савол туғилади. Буни аниқлаш учун унинг жадвал кўринишдаги ифодасидан фойдаланамиз. Жадвалнинг биринчи йўли ўзгармасдан, иккинчи йўлида барча мумкин бўлган ўрин алмаштиришларни бажарсак, равшанки ҳар сафар янги биъектив акслантиришга эга бўлаверамиз. n та элементдан барча мумкин бўлган ўрин алмаштиришлар сони роса n! бўлгани учун барча мумкин бўлган биъектив алмаштиришлар сони ҳам роса n! бўлади.
Бирор чекли n элементли А тўпламни шу тўпламни ўз устига биъектив акслантирилишига подстановка (ўрнига қўйиш) дейилади.
Юқорида келтирилган мулоҳазаларда А тўпламдаги барча тузиш мумкин бўлган подстановкалар сони роса n!.
Чекли тўпламни ўз-ўзига суръектив, инъектив ва биъектив акслантиришлари тенг кучлидир.
Агар :АВ акслантиришда А ва Втўпламлар чекли, ҳамда А=В бўлса, у ҳолда бу акслантириш учун суръектив, инъектив ва биъективлик тушунчаси тенг кучлидир.
Энди икки функциянинг композициясини (суперпозициясини) худди икки муносабатнинг композицияси (суперпозицияси) каби аниқлаймиз.