2-боб. ТЎпламлар ва муносабатлар

2-БОБ. ТЎПЛАМЛАР ВА МУНОСАБАТЛАР

2.1. Тўплам. Тўпламлар устида амаллар

Тўплам математиканинг бошланғич тушунчаларидан бири бўлиб у мисоллар ёрдамида тушунтирилади.

Тўплам маълум бир хосса ёки хусусиятга эга бўлган предметлар ёки объектлар мажмуасидан иборат бўлади. Масалан, Африкадаги барча дарёлар ёки бир факультетдаги барча гуруҳлар мажмуаси тўплам бўла олади. Тўпламни ташкил қилувчи предметлар ёки объектлар тўпламнинг элементлари дейилади. Тўплам лотин алифбосининг бош ҳарфлари А, В, С,... лар орқали белгиланади.
Мисоллар: Барча натурал сонлар тўплами , бутун сонлар тўплами кўринишда белгиланади. Q орқали барча рационал сонлар тўпламини, яъни , каср кўринишида ёзиш мумкин бўлган сонларни белгилаймиз. R орқали эса барча хақиқий сонлар тўпламини белгилаймиз.
а объект А тўпламнинг элементи бўлса, , аксинча а объект А тўпламнинг элементи бўлмаса, ёки орқали белгиланади. Агар А тўпламнинг ҳар бир элементи В тўпламнинг ҳам элементи бўлса, AB орқали белгиланади ва А тўплам В тўпламнинг тўпламостиси дейилади.
Бир хил элементлардан ташкил топган тўпламлар тенг тўпламлар дейилади. А ва В тўпламлар тенг бўлса А=В кўринишда белгилаймиз. А ва В тўпламларнинг тенг бўлиши учун ва бўлиши зарур ва етарли эканлигини кўриш қийин эмас. Битта ҳам элементи йўқ тўпламни бўш тўплам деб атаймиз ва ёки орқали белгилаймиз.
I.1.1-таъриф. А ва В тўпламларнинг камида бирига тегишли бўлган барча элементлардан ташкил топган А ва В тўпламларнинг бирлашмаси ёки йиғиндиси дейилади.
А ва В тўпламларнинг йиғиндиси орқали белгиланади.
I.1.2-мисол. , тўпламларнинг бирлашмаси бўлиши равшан
I.1.3-таъриф. А ва В тўпламларнинг кесишмаси ёки кўпайтмаси деб, А ва В тўпламларнинг барча умумий, яъни А га ҳам, В га ҳам тегишли элементлардан ташкил топган тўпламга айтилади.
А ва В тўпламларнинг кесишмаси кўринишида белгиланади.
I.1.2-мисолдаги А ва В лар учун бўлади.
I.1.4-таъриф.А ва В тўпламларнинг айирмаси деб, А тўпламнинг В тўпламга тегишли бўлмаган барча элементларидан ташкил топган тўпламга айтилади.
А ва Втўпламларнинг айирмаси А \ В кўринишида белгиланади.
I.1.2-мисолдаги А ва В тўпламлар учун А\В= , В ва А тўпламлар учун эса В\А= .
(А\В) (В\A) тўплам А ва В тўпламларнинг симметрик айирмаси дейилади ва орқали белгиланади. =( )\( ) бўлишини исбот қилишни ўқувчиларга ҳавола этамиз.
I.1.5-таъриф. Агар бўлса, В\Атўплам Атўпламнинг В тўпламгача тўлдирувчи тўплам дейилади.
Тўлдирувчи тўплам ёки орқали белгиланади. Шундай қилиб, = В\А.
Математиканинг баъзи соҳаларида фақатгина бирорта тўплам ва унинг барча тўпламостилари билан иш кўришга тўғри келади. Масалан, планиметрия текислик ва унинг барча тўпламостилари билан, стереометрия эса фазо ва унинг барча тўпламостилари билан иш кўради.
Агар бирор Е тўплам ва фақат унинг тўпламостилари билан иш кўрсак, бундай Е тўпламни универсал тўплам деб атаймиз. Универсал тўпламнинг барча тўпламостилари тўпламини В (Е) орқали белгилаймиз.