2-боб. ТЎпламлар ва муносабатлар

III.1.2-теорема. Иккита тартибланган n ликлар тенг бўлишлари учун, уларнинг мос координаталари тенг бўлишлари зарур ва етарли, яъни мулоҳаза товталогиядир.
Исбот. Агар бўлса, бўлиши равшан. бўлсин, бўлишини исбот қиламиз. Исботни математик индукция усулида олиб борамиз. N=2 бўлганда исбот юқорида келтирилган k3.1.3.Таъриф: n та А₁,А₂,……. . ,А_n тўламларнинг декарт (тўғри) кўпайтмаси деб, барча узунлиги n сонига тенг бўлган, <х₁,х₂,…. . ,х_n>, бунда х₁  А₁, х₂ А₂, …. ,х_n А_n тизмалар (кортежлар) тўпламига айтилади ва уни А₁хА₂х……… хА_n кўринишида белгиланади.
Шундай қилиб,
А₁хА₂х…хА_n={<х₁,х₂,…. . ,х_n>х₁  А₁,х₂ А_2,...,х_n А_n }.
Агар бунда А₁=А₂=…. . =А_n =А бўлиб қолса, y холда АхАх……хА декарт (тўғри) кўпайтмани, Аⁿ кўринишда белгиланиб, уни А тўпламни n каррали ёки А тўпламнинг n-чи даражали декарт (тўғри) кўпайтмаси дейилади ва уни
Aⁿ={< х₁,х₂,…. . ,х_n> х₁  А, х₂ А, …. ,х_n А}
кўринишда белгиланади. Агар n=1, n=0 бўлса, у холда таърифга биноан .
2.3. БИНАР ВА n-ЎРИНЛИ МУНОСАБАТЛАР

Тўпламлар назарияси, асосан тўпламларнинг элементларини табиатига ва уларни берилиш усулларига эътибор бермай, балки уларнинг хоссалари ва улар устидаги амалларни ўрганади. Баъзи бир амалий масалаларни ҳал этишда тўпламлар назариясини қўллаш учун, элементлари орасида қандайдир у ёки бу муносабатлар берилган тўпламларни қараш лозим бўлади. Табиий, бу жараён, «муносабат» тушунчасини қатъий таърифлаш лозимлигини тақазо этади.

3.2.1.Таъриф. Тартибланган жуфтликларнинг ихтиёрий тўпламига бинар муносабат дейилади.
Бу таърифдан икки тўпламнинг тўғри (декарт) кўпайтмасини ихтиёрий қисм тўплами бинар муносабат эканлиги келиб чиқади.
Киритилган муносабат тушунчаси математиканинг энг умумий тушунчаларидан бири бўлиб, у математик анализ, геометрия ва алгебрада муҳим рол ўйнайди. Бундай эканлигини ҳеч бўлмаганда энг муҳим тушунчалардан бири-функция тушунчаси муносабат тушунчасининг хусусий ҳоли эканлигидан ҳам кўриш мумкин(Бу ҳақда тўхталиб ўтамиз).
Одатда, бинар муносабатларни қандайдир ҳарфлар билан, масалан S, R, , ёки қандайдир махсус белгилар, масалан < , = , > , ~ ,  ,  билан белгиланадилар. Агар S бинар муносабат ва < x, y > S бўлса, у ҳолда х ва у элементлар S муносабатда ёки х ва у элементлар учун S муносабат бажарилади деб айтилади. < x, y > S ёзув ўрнига, кўпинча xSy ёзувидан ҳам фойдаланилади. Агар S бинар муносабат ва < x, y > S бўлса, у ҳолда х ва у элементлар S муносабат билан боғланмаган, ёки х ва у элементлар учун S муносабат бажарилмайди деб айтилади. Кўпинча < x, y > S ёзув ўрнига ёзув ҳам қўлланилади.