2-боб. ТЎпламлар ва муносабатлар

Тўпламлар устида амалларнинг хоссалари.
Тўпламлар устида бажариладиган алгебраик амаллар қуйидаги хоссаларга эга.
. кесишма ва бирлашманинг коммутативлиги;
кесишма ва бирлашманинг ассоциативлиги;
. Кесишманинг бирлашмага нисбатан дистрибутивлиги:

. Бирлашманинг кесишмага нисбатан дистрибутивлиги:

.

бирлашмани кесишмани деб белгилаб олсак, яна қуйидаги хоссаларга эга бўламиз. тўпламлар бирорта Х тўпламнинг тўпламостилари бўлсин, у ҳолда

Бутенгликларниисбoтлашучун, тенгликларнингчаптомонидагитўпламгатегишлиихтиёрийэлемент, тенгликнингўнгтомонидагитўпламгатегишливатўпламнингўнгтомонидагитўпламгатегишлиихтиёрийэлементчаптомонидагитўпламгаҳамтегишлибўлишиникўрсатишетарли.
Юқоридагихоссаларнингбирнечтасиниисботқилибкўрайлик.
3⁰-нингисботи: ихтиёрий бўлсин, уҳолдакесишманингтаърифигаасосан, ва бўлади. Тўпламларбирлашмасинингтаърифигаасосан ёки бўлади. Демак, ва ёки ва бўлади. Буэса ёки дегани. Охиргимуносабат бўлишинибилдиради. Шундайқилиб, ҳарқандай учун, экан.
Энди бўлсин, уҳолдатўпламларбирлашмасиамалинингтаърифигакўра ёки бўлади. Тўпламларкесишмасинингтаърифигакўра ва ёки бўлади, уҳолда .
8⁰- хоссанинг исботи: ихтиёрий бўлсин, у ҳолда ва Демак, ва ва... ва ,... . У ҳолда , , ..., ва ҳоказо, яъни .
Аксинча, бўлсин, у ҳолда тўпламлар кесишмасининг таърифига кўра ва ва ... ва ва ҳоказо. Тўпламлар айирмаси амалининг таърифига кўра ва ва ва ... ва ва ... бўлади. Тўпламлар бирлашмасининг таърифига кўра Демак .
Бу хоссалардан ташқари тўпламлар устида бажариладиган амаллар исботи равшан бўлган қуйидаги хоссаларга эга:

бўлса, .
ва бўлса, ва .

Тўмламлар устида бажариладиган амалларни Эйлер-Венн диаграммалари деб аталадиган шакллар ёрдамида ифода қилиш мумкин.
Универсал тўплам тўғри тўрт бурчак шаклида, унинг тўпламостилари тўғри тўртбурчак ичидаги доиралар орқали ифода қилинади. У ҳолда, икки тўплам бирлашмаси, кесишмаси, айирмаси, тўлдурувчи тўпламлар, икки тўпламнинг симметрик айирмаси мос равишда қуйидагича ифодаланади: