2-боб. ТЎпламлар ва муносабатлар

3.9-мисол. функция тўпламни - хақиқий сонлар тўпламига акслантиради. Бу функция инъектив, лекин сюръектив эмас.
III.3.10-мисол. функция - хақиқий сонлар тўпламини ўзини ўзига акслантирадиган биектив функциядир.
III.3.10-мисол. тўплам берилган бўлсин, у холда шартлар билан аниқланган ва функцияларниқарасак, . бўлади.
Бумисолданкўринадики, ,яънифункцияларкомпозициясиҳардоимҳамкоммутативбўлавермасэкан.
III.3.11-таъриф. акслантиришлар берилган бўлсин. Агар бўлса, акслантириш акслантиришга чапдан тескари, акслантириш эса, акслантиришга ўнгдан тескари акслантириш, ва шартлар бир вақтда бажарилган холда эса, ва акслантиришларни бир бирига тескари акслантиришлар дейилади.
III.3.13-теорема. Агар акслантиришлар берилган бўлиб, шарт бажарилса, у холда -инъектив, эса сюръектив акслантиришдир.
Исбот. Теорема шартлари бажарилган деб фараз қилайлик. У холда, учун . Фараз қилайлик элементлар учун бўлсин, у холда . Бу эса фаразимизга зид.Энди а учун шундай топилиб, бўлишини кўрсатайлик. Ҳақиқатдан теорема шартига кўра учун бўлади. ни орқали белгиласак . Демак, -сюръектив акслантириш экан.
III.3.14-теорема. акслантиришга тескари акслантириш мавжуд бўлиши учун уни биъектив бўлиши зарур ва етарлидир.
Исбот. Агар - биектив бўлса, учун шундай ягона топилиб, бўлади. У холда учун шартни қаноатлантирадиган акслантириш акслантиришга тескари акслантириш бўлиши равшан. Фараз қилайлик акслантириш учун - тескари акслантириш бўлсин, у холда, тескари акслантириш таърифига кўра , у холда III.3.13-теоремага кўра ва лар биектив акслантиришлардир.
Келгусида акслантиришга тескари акслантириш мавжуд бўлса, уни орқали белгилаймиз.