2-боб. ТЎпламлар ва муносабатлар

III.3.2-таъриф. ва функциялар берилган бўлсин. кўринишда аниқланадиган тўпламга, ва функцияларнинг композицияси (суперпозицияси) дейилади.
Агар бу таърифни акслантириш тилида талқин қиладиган бўлсак, у қуйидагича ифодаланади.
Икки g:U→V ва f:V→W акслантиришларни комппозицияси (кўпайтмаси, суперпозицияси ) деб, u U, (f ° g)(u)= f(g(u)) шарт (тенглик ) билан аниқланадиган f ° g : U→W акслантиришга айтилади.
Қуйидаги расмда бу акслантиришларнинг композицияси ифодаланган.
U → W

V
Шуни таъкидлаш жоизки,ихтиёрий f ва g акслантиришлар учун уларнинг композицияси хар доим мавжуд эмас. Бироқ А тўпламни ўз-ўзига акслантирувчи ихтиёрий иккита акслантиришни кўпайтмаси хар доим мавжуддир.Бу тасдиқларни ростлигини акслантиришлар композицияси таърифидан келиб чиқишини кўрсатишни ўқувчиларга хавола этамиз.

III.3.3-мисол. бўлсин, у холда 3.2-таърифга биноан бўлади.III.3.4-теорема. Функцияларнинг композицияси қуйидаги хоссаларга эга:





1⁰- хоссанинг исботи. бўлсин, у холда тўпламнинг таърифига кўра бўлиб, шундай топиладики, натижада ва бўлади.Демак бўлади, у холда бўлгани учун бўлади. Аксинча, агар бўлса шундай топилиб, у холда бўлгани учун бўлади, яъни .
Қолган хоссаларнинг исботи мустақил бажариш учун ўқувчиларга ќавола қилинади.
III.3.5-теорема. Функциялар композицияси ассоциативдир.
Бу теореманинг исботи бинар муносабатлар композицияси ассоциативлигининг бевосита натижасидир.
Аввал айтганимиздек тўпламнинг хар бир элементини ўзини ўзига акслантирадиган акслантириш айний акслантириш ёки бирлик акслантириш дейилиб уни Е_А орқали белгилаймиз.
III.3.7-теорема. Агар акслантириш тўпламни тўламни устига акслантирган бўлса, у холда бўлади.
Исбот. f акслантириш устига акслантириш, яъни бўлганидан келиб чиқиши равшан. Фараз қилайлик , яъни шундай топилиб ва бўлсин. У холда инверсиянинг таърифига кўра . Энди бинар муносабат функциялигини этиборга олсак . Демак, .
III.3.8-мисол. Хақиқий сонлар тўплами ни ўзини ўзига акслантирадиган функция инъектив хам эмас, биектив хам эмас. Ҳақиқатдан ҳам . Лекин - манфий бўлмаган хақиқий сонлар тўплами.
III.3.8-мисол. функция барча ҳақиқий сонлар тўпламини тўпламга акслантирсин. У холда . Демак, -сюръектив акслантириш, лекин инъектив акслантириш эмас.