2-боб. ТЎпламлар ва муносабатлар

III.3.15-натижа. Ўзаро тескари акслантиришлар биъектв акслантиришлардир.
Тўпламни ўзини ўзига акслантириш алмаштириш дейилади.
III.3.16-теорема. Чекли тўпламни алмаштириш биектив бўлиши учун, сюръектив ёки инъектив бўлиши зарур ва етарлидир.
Исбот. -чекли тўплам берилган бўлсин алмаштириш биектив бўлса, хам сюръектив, ҳам инъектив бўлиши равшан. Фараз қилайлик сюръектив бўлсин, лекин инъектив бўлмасин. У холда -чекли тўплам бўлгани учун унинг элементлари лардан иборат десак, элементлар тадан кўп эмас. Демак, камида битта элемент учун прообраз топилмайди. Бу эса -сюръектив деган фаразимизга зид. сюръективлигидан нинг инъективлигини келтириб чиқаришни мустақил исбот қилиш ўқувчиларга хавола қилинади.
III.3.17-таъриф. Агар иккита ва тўпламларнинг бирини иккинчисига ўзаро бир қийматли устига акслантирадиган камида битта акслантириш мавжуд бўлса, у холда бу тўпламлар тенг қувватли дейилади ва кўринишида белгиланади.
III.3.17-мисол. - натурал сонлар тўплами билан рационал сонлар тўплами изоморф бўлишини кўрсатинг. Натурал сонлар тўпламига изоморф бўлган тўплам саноқли тўплам дейилади. Изоморфизм тушунчаси берилгани йўқ.
III.3.17-теорема. Хар қандай сюръектив акслантириш учун - тўпламида бинар муносабат берилган бўлсин. У холда - эквивалентлик муносабати бўлиб, - тўпламнинг - эквивалентлик муносабати бўйича, фактор тўплами тўпламга изоморфдир. Яъни .
Исбот. учун элемент аниқланган эквивалентлик синфини орқали белгилаб акслантиришни тенглик орқали аниқлайлик. -сюръектив бўлгани учун -ҳам сюръектив бўлиши равшан. хақиқатдан, -инъектив бўлишини кўрсатамиз. бўлсин, у холда агар деб фараз қилсак бўлади. Яъни, у ќолда - бу эса юқоридаги шартимизга зид.

9.