2 -bosqich ri 11-21 guruh talabasining “Diskret tuzilmasi” fanidan tayyorlagan mustaqil ishi-3 qarshi – 2021 Mavzu: algebraning ta’rifi va misollar, morfizmlar, faktor- algebrasi reja

Ta’rif 3. ∑ signaturali algebraik sistema U={A, ∑} deb bo’sh bo’lmagan A to’plamga aytiladi, bunda har bir n o’rinli predikat (funksional) simvolga A
to’plamda aniqlangan n-o’rinli predikat mos qo’yilgan. A to’plam {A, ∑} algebraik sistemaning tashuvchisi yoki universumi deb ataladi.
simvollarga mos keluvchi predikatlar va funksiyalar
Ta’rif 4. ∑ dagi
interpretatsiyalar deyiladi.
Interpretatsiyalarni ham signaturaning mos simvollari bilan belgilaymiz. Ixtiyoriy constant simvolning interpretatsiyasi A to’plamning biror bir elementi bo’ladi. Algebraik sistemalar odatda U, B,… kabi harflar bilan, ularning tashuvchilari esa A, B,… kabi harflar bilan belgilanadi. Ko’p hollarda algebraik sistema o’rniga “algebraik” so’zi tushirib qoldirilib, sistema yoki struktura so’zi ishlatiladi.
Ta’rif 5. Algebraik sistemaning quvvati deb A “tashuvchi”ning quvvatiga aytiladi.
Agar ∑ signatura predikat (funksional) simvollarga ega bo’lmasa, u funksional (predikat) signatura deb ataladi.
Agar sistemaning signaturasi funksional (predikat) bo’lsa, unga algebra (model) deyiladi.
Misol 1.
bilan algebra tashkil etadi.
Misol 2.
bo’lsin, u holda { } to`plam ikkita ikki o’rinli amallar
to`plam ≤( µ (≤) =2) binar munosabatli, +,
ikki o’rinli amallar, ‘: n→ n+1 bir o’rinli amal (µ(‘)=1) va ikkita nol o’rinli amallar (constantalar) 0,1 sistemasidir.
Misol 3. majmua algebra tashkil etmaydi, chunki bo’lish Z to’plam amali hisoblanmaydi, masalan 2:3 Z, element ham Z to’plamga tegishli emas.
Morfizmlar
Faraz qilaylik U={A, ∑} , B={B,∑} algebraik sistemalar berilgan bo’lsin.
Ta`rif 1. Agar akslantirish uchun quyidagi shartlar bajarilsa,
1) U va B sistemalardagi funksiyalarga mos keluvchi istalgan funksional simvol uchun va istalgan α1, α2, … αn uchun
2) U va B sistemalardagi PU va PB predikatlarga mos keluvchi istalgan predikat simvollar uchun va ixtiyoriy uchun
unga U sistemani B sistemaga
akslantiruvchi gomomorfizm deb ataladi.
Agar gomomorfizm bo’lsa, uni quyidagicha belgilaymiz: .
Gomomorfizmda amallar harakati va munosabati saqlanadi. Bu bir sistemaning xossalarini o’rganishda boshqa sistemaga ko’chirishga imkon beradi.
Misol. U = {Z, +, ≤} va B={Z2 , + ,≤} sistemalarni qaraymiz, B sistemada qo’shish quyidagi qoida bo’yicha amalga oshiriladi.
, tartiblash munosabati
.
akslantirish
sharti bo’yicha aniqlansa u gomomorfizm
bo’ladi. Haqiqatdan, ham istalgan a,b
uchun
agar a ≤ b bo’lsa, u holda (a,0) ≤ (b,0) ,
ya’ni munosabatlar bajariladi.