2 -bosqich ri 11-21 guruh talabasining “Diskret tuzilmasi” fanidan tayyorlagan mustaqil ishi-3 qarshi – 2021 Mavzu: algebraning ta’rifi va misollar, morfizmlar, faktor- algebrasi reja

Ta`rif 2. In’yeksiya bo’lgan . gomomorfizmga monomorfizm deb, syur’eksiya bo’lgan gomomorfizmga epimorfizm deb ataladi va bu holda B sistema U sistemaning gomomorf obrazi deyiladi. gomomorfizmga endomorfizm deb
gomomorfizm bo’lsa, unga
ataladi. monomorfizm syur’eksiya bo’lsa va
izomorfizm deb ataladi va quyidagicha belgilanadi mavjud bo’lsa, U va B sistemalar izomorf deyiladi va izomorfizmga U sistemaning avtomorfizmi deb ataladi. sistemalar teng quvvatli bo’ladi.
izomorfizm
kabi belgilanadi. izomorfizm biyeksiya
Lemma.
1. idA :
. Agar
2. Agar:
, u holda
.
3. Agar va bo’lsa, u holda bo’ladi.
Misol 1. Geometrik vektor fazoda vektorlarni qo’shish va haqiqiy songa ko’paytirish amallari bilan berilgan E3 to’plamni qaraymiz. Cheksiz signaturali
sistemaga ega bo’lamiz, bunda bir o’rinli funksiyalar har bir
vektorga vektorni mos qo’yadi. Shu bilan birga sistemani qaraymiz, uning “tashuvchisi” uchta (x,y,z) haqiqiy sonlardan , ikki o’rinli koordinatalar bo’yicha qo’shish amali (+), va uchlikni haqiqiy songa ko’paytirish amali.
U va B sistemalar R-haqiqiy sonlar maydonida chiziqli fazo bo’ladi. Biror tayin bazisda vektorga uni koordinata qatori (x,y,z) ni mos qo’yuvchi
akslantirish biyeksiya bo’ladi, ; bunda
tengliklar o’rinli bo’ladi. Shunday qilib akslantirish U va B chiziqli fazolarda izomorfizm bo’ladi, bundan geometrik vektorlarni o’rganish asosida uchlik sonlarni o’rganish mumkin va aksincha.
Misol 2. Berilgan U to’plam uchun sistema sistemaga biyeksiya mavjudligi sababli izomorf bo’ladi. Haqiqatdan ham, De-Morgan
qonuniga ko’ra istalgan B va C to’plam uchun:
,
Shu bilan birga
Kongruyensiya. Faktor – algebra
ekvivalentlik munosabati uchun istalgan n , ixtiyoriy n o’rinli
Agar
simvol
uchun,
ixtiyoriy majmualar uchun
bajariladigan
bajarilishidan kelib algebrada kongruensiya deb ataladi.
chiqsa, ekvivalent munosabatga
Bu barcha amallarni ekvivalentlik munosabati bilan moslanganligini bildiradi.
Masalan, qo’shish amali uchun quyidagicha ifodalanadi: Istalgan elementlar uchun, ixtiyoriy a+b element sinfga tegishli bo’ladi.
,
va
A to’plamning
konguensiyasi bo’yicha faktor to’plamini qaraymiz:
bu to’plamda ∑ signaturali algebrani aniqlaymiz. A algebraning konstanti C ga elementni mos qo’yamiz, bu element to’plamda constant simvol C ga mos keladi. Agar f n-o’rinli ∑ dagi simvol bo’lsa, u holda to’plamda f funksiyani quyidagi qoida bo’yicha aniqlaymiz:
Ixtiyoriy elementlar uchun bu ta’rifni korrektligi ya’ni ekvivalentlik sinfidagi qaysi element olinganiga bog’liq emasligiga ishonch hosil qilamiz. Haqiqatdan ham, agar bo’lsa, u holda bo’ladi, bundan kongruentlik xossasiga ko’ra
ya’ni
bajariladi.
Bunday hosil qilingan
algebraga U algebraning
konguensiya
bo’yicha faktor algebrasi deb ataladi.
elementga sinfni mos qo’yuvchi akslantirish U algebra va algebradagi epimorfizm bo’ladi. Bu epimorfizmga tabiiy gomomorfizm deb ataladi.
Agar gomomorfizm bo’lsa, u holda Ker to’plam U algebrada kongruensiya bo’ladi, bu to’plamni gomomorfizmning yadrosi deb ataladi.
Algebraning gomomorf obrazi (aksi) gomomorfizm yadrosi bo’yicha faktor algebrasi izomorfligi haqidagi teoremani keltiramiz.