14-bob funksional ketma-ketlik va qatorlar 65-ma’ruza Funksional ketma-ketliklar va ularning tekis yaqinlashuvchiligi

6-misol. Ushbu

funksional ketma-ketlik tо‘plamda tekis yaqinlashuv-chilikka tekshirilsin.

◄Agar ixtiyoriy uchun

deyilsa,

bо‘ladi. Demak,

.

Bu esa yuqoridagi teoremaning shartini bajarilmasligini kо‘rsatadi. Demak, berilgan funksional ketma-ketlik da tekis yaqinlashuvchi emas.►

Aytaylik, funksional ketma-ketlik tо‘plamda yaqinlashuvchi bо‘lib, funksiya uning limit funksiyasi bо‘lsin:

.

Agar

bо‘lsa, funksional ketma-ketlik tо‘plamda funksiyaga notekis yaqinlashadi deyiladi.

7-misol. Ushbu

funksional ketma-ketlik da tekis yaqinlashishiga tekshirilsin.

◄ Ravshanki,

.

Demak, berilgan funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi bо‘ladi.

Aytaylik, bо‘lsin. Unda

munosabat ixtiyoriy da о‘rinli bо‘ladi.

Demak, funksional ketma-ketlik limit funksiya ga da tekis yaqinlashmaydi.►

3⁰. Tekis yaqinlashuvchi funksional ketma-ketlikning xossalari. Tekis yaqinlashuvchi funksiyaonal ketma-ketliklar qator xossalarga ega. Bu xossalarni keltiramiz.

Aytaylik. :

funksional ketma-ketlik tо‘plamda yaqinlashuvchi bо‘lib, uning limit funksiyasi bо‘lsin:

.

1-xossa. Agar funksional ketma-ketlikning har bir hadi tо‘plamda uzluksiz bо‘lib,

bо‘lsa, limit funksiya shu tо‘plamda uzluksiz bо‘ladi.

Demak, bu holda

munosabat о‘rinli bо‘ladi.

2-xossa. Agar funksional ketma-ketlikning har bir hadi da uzluksiz bо‘lib,

bо‘lsa,

bо‘ladi.

Demak, bu holda

munosabat о‘rinli bо‘ladi.

3-xossa. Agar funksional ketma-ketlikning har bir hadi da uzluksiz hosilalarga ega bо‘lib,

bо‘lsa,

bо‘ladi.

Shu kabi xossalarga keyinroq о‘rganiladigan tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar ham ega bо‘ladi. Ayni paytda, ular bir mulohaza asosida isbotlanadi Mazkur xossalarning isbotini funksional qatorlarga nisbatan keltiramiz.
Mashqlar

1. 
   Ushbu
   

funksional ketma-ketlikni da tekis yaqinlashuvchi- likka tekshirilsin.

2. 
   Aytaylik, funksiya da uzluksiz hosilaga ega bо‘lib,
   

bо‘lsin. Bu funksional ketma-ketlikning da ga tekis yaqinlashishi isbotlansin.