14-bob funksional ketma-ketlik va qatorlar 65-ma’ruza Funksional ketma-ketliklar va ularning tekis yaqinlashuvchiligi

14-BOB

FUNKSIONAL KETMA-KETLIK VA QATORLAR
65-ma’ruza

Funksional ketma-ketliklar va ularning tekis yaqinlashuvchiligi
1⁰. Funksional ketma-ketlik va limit funksiya tushunchalari. Aytaylik, har bir natural songa tо‘plamda aniqlangan bitta funksiyani mos qо‘yuvchi qoida berilgan bо‘lsin. Bu qoidaga kо‘ra

(1)

tо‘plam hosil bо‘ladi. Uni funksional ketma-ketlik deyi-ladi. tо‘plam (1) funksional ketma-ketlikning aniqlanish tо‘plami deyiladi.

Odatda, (1) funksional ketma-ketlik, uning -hadi yordamida yoki kabi belgilanadi. Masalan,

lar funksional ketma-ketliklar bо‘ladi va ularning aniqlanish tо‘plami mos ravishda

bо‘ladi. Ravshanki, о‘zgaruvchining biror tayinlangan qiymatida ushbu

sonlar ketma-ketligiga ega bо‘lamiz.

1-ta’rif. Agar sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bо‘lsa, funksional ketma-ketlik nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi. nuqta esa bu funksional ketma-ketlikning yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtasi deyiladi.

2-ta’rif. funksional ketma-ketlikning barcha yaqinlashish nuqtalarida iborat tо‘plam, funksional ketma-ketlikning yaqinlashish tо‘plami deyiladi.

Masalan, ushbu

funksional ketma-ketlik aniqlashish tо‘plami bо‘lib, u nuqtada yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi bо‘ladi. Demak, ketma-ketlikning yaqinlashish tо‘plami bо‘ladi.

Faraz qilaylik, funksional ketma-ketlikning yaqinlashish tо‘plami bо‘lsin. Ravshanki, bu holda har bir da

ketma-ketlik yaqinlashuvchi, ya’ni

mavjud bо‘ladi. Endi har bir ga ni mos qо‘ysak, ushbu

funksiya hosil bо‘ladi. Bu funksiya funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi deyiladi:

.

Bu munosabat quyidagini anglatadi: ixtiyoriy son va har bir uchun shunday natural son topiladiki, ixtiyoriy da

,

ya’ni

bо‘ladi.

1-misol. Ushbu

funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi topilsin.

◄ Berilgan funksional ketma-ketlik da aniqlangan. Uning limit funksiyasi

bо‘ladi. Demak, funksional ketma-ketlik da yaqinlashuvchi va

.►

2-misol. Ushbu

funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi topilsin.

◄ Bu funksional ketma-ketlik da aniqlangan. Ravshanki

da

da ,

da ,

da mavjud emas.

Demak, berilgan funksional ketma-ketlik yaqinla-shuvchi bо‘lib, uning limit funksiyasi

bо‘ladi.►

3-misol. Ushbu

funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi topilsin.

◄Berilgan funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi quyidagicha topiladi:



►