14-bob funksional ketma-ketlik va qatorlar 65-ma’ruza Funksional ketma-ketliklar va ularning tekis yaqinlashuvchiligi

2⁰. Funksional ketma-ketlikning tekis yaqinlashuv-chiligi. Faraz qilaylik, :

funksional ketma-ketlik tо‘plamda yaqinlashuvchi (ya’ni yaqinlashish tо‘plami ) bо‘lib, uning limit funksiyasi bо‘lsin:

.

Ma’lumki, bu munosabat

bо‘lishini anglatadi. Shuni ta’kidlash lozimki, yuqoridagi natural son ixtiyoriy olingan son bilan birga qaralayotgan nuqtaga ham bog‘liq bо‘ladi (chunki, ning turli qiymatlarida ularga mos ketma-ketlik, umuman aytganda turlicha bо‘ladi).

3-ta’rif. Agar son olinganda ham shu gagina bog‘liq bо‘lgan natural son topilsaki, va ixtiyoriy da

tengsizlik bajarilsa, ya’ni

bо‘lsa, funksional ketma-ketlik tо‘plamda ga tekis yaqinlashadi (funksional ketma-ketlik tо‘plamda tekis yaqinlashuvchi) deyiladi.

Shunday qilib, funksional ketma-ketlik tо‘plamda limit funksiyaga ega bо‘lsa, uning shu limit funksiyasiga yaqinalishish ikki xil bо‘lar ekan:

1. 
   
   

bо‘lsa, funksional ketma-ketlik da ga yaqinlashadi (oddiy yaqinlashadi). Bu holda

kabi belgilanadi.

2)

bо‘lsa, funksional ketma-ketlik da ga tekis yaqinlashadi. Bu holda

kabi belgilanadi.

Ravshanki, funksional ketma-ketlik tо‘plamda funksiyaga tekis yaqinlashsa u shu tо‘plamda ga yaqinlashadi:

.

Aytaylik,

bо‘lsin . Bu holda va da

, ya’ni

bо‘ladi. Bu esa funksional ketama-ketlikning biror hadidan boshlab, keyingi barcha hadlari funksiyaning " -oralig‘i"da butunlay joylashishini bildiradi (29-chizma)

4-misol. Ushbu

funksional ketma-ketlikning da tekis yaqinlashuvchiligi kо‘rsatilsin.

◄Ravshanki,

.

Demak, limit funksiya .

Agar son olinganda deyilsa, unda va uchun

bо‘lishini topamiz. Demak ta’rifga binoan

bо‘ladi.►

Faraz qilaylik, funksional ketma-ketlik tо‘plamda limit funksiyaga ega bо‘lsin.

1-teorema. funksional ketma-ketlik tо‘plamda funksiyaga tekis yaqilashishi uchun

bо‘lishi zarur va yetarli.

◄ Zarurligi. Aytaylik,

bо‘lsin. Ta’rifga binoan

bо‘ladi. Bu tengsizlikdan

bо‘lib, undan

bо‘lishi kelib chiqadi.

Yetarliligi. Aytaylik

bо‘lsin. Limit ta’rifga kо‘ra

bо‘ladi. Ravshanki

.

U holda uchun

bо‘ladi. Bundan

bо‘lishi kelib chiqadi.►

5-misol. Ushbu

funksional ketama-ketlikning da tekis yaqinlashuv-chiligi kо‘rsatilsin.

◄Berilgan funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi

bо‘ladi. Endi

ni topamiz:

.

Demak,

bо‘lib,

bо‘ladi.►

Eslatma. Agar funksional ketma-ketligi uchun tо‘plamda

bо‘lsa, funksional ketma-ketlik da tekis yaniqla-shishi shart emas.

Endi funksional ketma-ketlikning limit funksiyaga ega bо‘lishi va unga tekis yag‘inlashishini ifodalovchi teoremani keltiramiz: