13. 1-mavzu. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarni differensiallash. Hosila mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari Dars rejasi

13.8-ma’ruza. Qoldiq tushunchasi. Qoldiqlar nazariyasining asosiy
teoremasi. Qoldiqlarni hisoblash formulalari
Dars rejasi:

1. 
   Qoldiq tushunchasi.
   
2. 
   Qoldiqlar nazariyasining asosiy teoremasi.
   
3. 
   Qoldiqlarni hisoblash formulalari.
   

Mavzu bo’yicha adabiyotlar: [1], [5], [6], [8]
Mavzu bo’yicha tayanch iboralar: funksiyaning nuqtadagi qoldig’i, ko’p bog’lamli soha, bo’lakli silliq yopiq Jordan chizig’i, yakkalangan maxsus nuqta, n-tartibli nol, hosilalar uchun Koshining integral formulasi, qutb maxsus nuqta, muhim maxsus nuqta, Loran qatori.
19.1. Qoldiq tushunchasi.
19.1-Lemma. Agar funksiya biror halqada regulyar bo’lsa, u holda , integralning qiymati dan bog’liq emas.
Isbot. Haqiqatan ham, lemmaning isboti uchun larni olib, tenglikni ko’rsatish kifoya. Buning uchun ichki radiusi , tashqi radiusi dan iborat halqani olamiz. munosabatdan funksiya yopiq halqada regulyar ekanligini olamiz. Shuning uchun murakkab kontur uchun Koshining integral formulasiga muvofiq
.
19.1-Lemma isbot bo’ldi.
19.1-Ta’rif. Agar funksiya uchun nuqta yakkalangan maxsus nuqta bo’lsa, u holda funksiyaning nuqtadagi qoldig’i deb
(19.1)
ga aytiladi, bu yerda yetarlicha kichik musbat son.
19.2-Ta’rif. funksiyaning nuqtadagi qoldig’i deb
(19.2)
ga aytiladi, bu yerda yetarlicha katta ixtiyoriy musbat son.
19.1-Lemmaga ko’ra (19.1) va (19.2) integrallarning qiymatlari va dan bog’liq emas. Agar nuqtada funksiya regulyar bo’lsa, u holda . Lekin bo’ib, funksiya da regulyar bo’lsa hamki, bo’lishi mumkin. Masalan, uchun regulyarlik nuqtasi bo’lsa ham (chunki, deb aniqlash mumkin) .
19.2. Qoldiqlar nazariyasining asosiy teoremasi.
19.1-Teorema. Agar funksiya chekli bog’lamli chegerasi cheklita bo’lakli silliq yopiq Jordan chiziqlaridan iborat sohaning yakkalangan maxsus nuqtalaridan tashqari yopiq sohada regulyar bo’lsa, u holda
. (19.3)
Bunda , agar bo’lsa, u holda bu nuqta ham nuqtalar qatoriga qo’shiladi.
Isbot. Agar bo’lsa, bo’lsa, deb olib, ni shu qadar kichik qilib tanlaymizki, barcha atroflar o’zaro va bilan kesishmay, o’z chegaralari bilan birgalikda soha ichida joylashsin. U holda (19.1-chizmaga qarang) yoki bo’lsa, belgilashni olsak, - chegeralangan chekli bog’lamli soha bo’lib, funksiya da regulyar bo’ladi.

19.1-chizma

Murakkab konturlar uchun Koshining integral teoremasiga muvofiq,

yoki
, (19.4)
o’rinli bo’ladi, bu yerda . (19.1) va (19.2) formulalarga ko’ra


. (19.5)
Agar (19.5) qiymatlarni (19.4) ga qo’ysak, (19.3) formulani olamiz. 19.1-Teorema isbotlandi.