11-Mavzu. Matritsaning rangi. Kroneker–Kapelli teoremasi

11-Mavzu. Matritsaning rangi. Kroneker–Kapelli teoremasi.

Reja .
1.Chiziqli tenglamalar sistemalari(tizimlar).

2. n o’lchamli arifmetik fazo.
3. Matritsaning rangi.
4. Kroneker–Kapelli teoremasi.


Ushbu

tenglik berilgan bo`lib, bu tenglikdagi xaqiqiy sonlar ma`lum, xaqiqiy sonlar esa noma`lum bo`lsa, bu tenglik n ta noma`lumli chiziqli tenglama deyiladi; sonlar bu chiziqli tenglamaning koeffitsientlari, b son ozod xadi, sonlar esa noma`lumlar deyiladi.
Agar bo`lsa, (1) tenglama bir jinsli deyiladi. Bir xil noma`lumli chiziqli tenglamalardan iborat bir nechta tenglamalarni birga echish, ya`ni chiziqli tenglamalarni echish masalasi ko`p uchraydi.
Birga ko`rilayotgan bir xil noma`lumli bir nechta chiziqli tenglamalar to`plamini chiziqli tenglamalar tizimi deyiladi.
Umumiy ko`rinishda olingan chiziqli tenglamalar tizimida odatda koeffitsientlar va ozod xaddar ko`p bo`lgani va shunga ko`ra ularni turli xarflar bilan belgilash uchun alifbodagi xarflar etishmagani sababli koeffitsientlarni va ozod xadlarni quyidagicha belgilash usuli ishlatiladi. Dastlab chiziqli tenglamalar tizimiga kiruvchi tenglamalar tartib bilan joylashtiriladi, ya`ni ular raqamlanadi. Bunga asosan chiziqli tenglamalar tizimiga kiruvchi koeffiqientlar quyidagi qoida bo`yicha ikkita indeksli bir xil xarflar bilan belgilanadi: indekslarning birinchisi tenglamaning raqamini va ikkinchisi esa bu koeffiqient turgan joydagi noma`lumning raqamini ko`rsatadi. Masalan, i-tenglamadagi j-noma`lum oldidagi koeffitsient orqali belgilanadi va a-i-ji deb o`qiladi (xususan ni -ikki-uch deb o`qila-di). CHizikli tenglamalar tizimiga kiruvchi ozod xadlar bir indeksli boshqa bir xil xarflar bilan belgilanadi. Bunda indeks ozod xad tegishli bo`lgan tenglamaning raqamini ko`rsatadi. Masalan, i-tenglamaning ozod xadi orqali belgilanadi.
YUqorida keltirilgan kelishuvga asosan umumiy xolda berilgan n ta noma`lumli S ta chiziqli tenglamalar tizimini ushbu

yoki qisqacha ko`rinishlarda yozish mumkin. Bu erdagi sonlar i-tenglamadagi j- noma`lum oldidagi koeffitsient va son esa i- tenglamaning ozod xadi deyiladi. Agar barcha lar uchun bo`lsa, (2) tizim bir jinsli deyiladi.
CHiziqli tenglamalar tizimini echish masalasi bu tizimning koeffitsientlaridan tuzilgan ushbu

to`g`ri burchakli to`rtburchak jadvalning xossalariga bog`liq. Bunday jadval S ta satrli n ta ustunli matritsa ( matritsa) deyiladi, yoki ko`rinishida xam yoziladi. Bu A matritsadagi sonlar matritsaning elementlari deyiladi. Barcha - matritsalar to`plamini orqali belgilaymiz.
A matritsaning xar bir satriga R ustida n-o`lchamli vektor deb qarash mumkin. Uning i-satrini ko`rinishda yozamiz. Kelajakda A matritsaning satrlarini mos ravishda A₁, A₂, ..., A_s orqali belgilaymiz. A matritsaning ustunlariga R ustida S-o`lchamli vektor deb qarash mumkin. Uning j-ustunini ushbu

belgi o`rniga joyni tejash maqsadida ko`rinishida yozamiz. Kelajakda A matritsaning ustunlarini mos ravishda A¹, A², ..., Aⁿ kabi belgilaymiz.
Agar matritsada bo`lsa, u n tartibli kvadrat matritsa deyiladi. Barcha kvadrat matritsalar to`plamini belgilashda o`rniga M<sub>p</sub> belgini ishlatamiz. Kvadrat matritsadagi elementlar to`plami uning bosh diagonali deyiladi. Agar kvadrat matritsada bosh diagonaldan tashqaridagi barcha elementlar nol’ bo`lsa, u diagonal matritsa deyiladi va ba`zan ko`rinishida yoziladi. Barcha elementlari nolga teng bo`lgan matritsa nol’ matritsa deyiladi. Agar diagonal matritsada bo`lsa, u birlik matritsa deyiladi va E<sub>n</sub> (ba`zan E) orqali belgilanadi.
YUqorida (2) tizim bo`yicha kiritilgan (3) matritsa (2) tizim noma`lumlarining koeffitsientlari matritsasi deyiladi. Bu matritsaning o`ng tomoniga tizimning ozod xadlaridan iborat ustunni yozsak, S ta satrli n 1 ustunli

matritsa xosil bo`ladi. Uni (2) tizimning kengaytirilgan matritsasi deyiladi va ko`rinishida xam yoziladi. Odatda (2) tizimni echish masalasi (3) va (4) matritsalarning xossalarini o`rganishga keltiriladi.