11-Mavzu. Matritsaning rangi. Kroneker–Kapelli teoremasi

2-teorema. Birgalikda bo`lgan ( ) chiziqli tenglamalar tizimining aniq bo`lishi uchun bo`lishi zarur va kifoya.
I s b o t. Birgalikda bo`lgan ( ) tizimning aniqligidan ( ) munosabatga asosan V vektorning ustunlar orqali yagona usulda ifodalanishi kelib chiqadi. Bundan vektorlar tizimining chiziqli erkliligi kelib chiqishini ko`rsatamiz. Xaqiqatan biror ko`rinishidagi tenglik o`rinli bo`lsin deb faraz qilaylik. Bu tenglikni ( ) tenglikka qo`shib, tenglikni olamiz. Oxirgi tenglik ko`rsatadiki, agar (x₁, ...x_p) vektor ( ) tizimning echimi bo`lsa, vektor ham echimdir. Echimning yagonaligidan tenglikni olamiz. Bu tengliklardan ya`ni A¹, ..., A" vektorlar tizimi chiziqli erkli. Demak
Aksincha, r(a) bo`lsin. U xolda {A<sup>1</sup>, ..., A"} vektorlar tizimi chiziqli erkli bo`lib, tizim esa chiziqli bog`langan. Bundan V vektorning A<sup>1</sup>,...,A" tizim orqali yagona usulda ifodalanishi, ya`ni ( ) tizimning yagona echimi borligi kelib chiqadi.
Natija. Agar n ta noma`lumli S ta bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi uchun Snol`dan farqli echimi mavjud.
I s b o t. Berilgan (a) bir jinsli tizimning vektor ko`rinishidagi ( ) tenglamasida bo`lib, u ushbu

ko`rinishga keladi. Bu tenglama ya`ni nol’ echimga ega. Demak, bir jinsli tizim doim birgalikda. Tizimda tenglamalarning soni S ta bo`lgani uchun ustunlar S-o`lchovli vektorlardir. Bundan va 14-§ 4-teoremaning 2-natijasidan (a) tizimning rangi uchun tengsizlik kelib chiqadi. Bu va Stengsizlikdan tengsizlik kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlik 2-teoremaga asosan (a) tizim echimlari sonining bittadan ortiqligini ko`rsatadi. Demak (a) tizimning nol’dan farqli echimi mavjud.
Bu paragrafdagi teoremalar matritsa ustunlarining rangini xisoblash masalasi muximligini ko`rsatadi.
matritsaning satrlarini n-o`lchovli vektorlar deb qarash mumkin. A matritsaning satrlaridan iborat bo`lgan vektorlar tizimining rangiga A matritsasatrlarining rangi deb ataladi. Uni qisqalik uchun r_s(A) orqali belgilaymiz. Ravshanki .
Keyingi paragrafda xar qanday A matritsa uchun tenglikni ko`rsatamiz va matritsalarni elementar almashtirish yordamida ranglarini xisoblash usuli bilan tanishamiz.