11-Mavzu. Matritsaning rangi. Kroneker–Kapelli teoremasi

fazoda biror A tizim olingan bo`lsin. Agar A dagi xar qanday ta vektor chizikli. bog`langan va unda r ta chizikli erkli vektorlar qism tizimi mavjud bo`lsa, bunday r soni A tizimning rangi deyiladi. Uni r(A) orqali belgilaymiz. Nol’ vektorlardan iborat tizimning rangini nol’ga teng deb xisoblaymiz.
Agar xar qanday m natural son uchun A da m ta chiziqli erkli vektor mavjud bo`lsa, bunday A to`plamning rangi cheksiz deyiladi va r(A) ko`rinishida yozamiz.
A tizimning rangi r ga teng bo`lsin. A dagi ixtiyoriy r ta chiziqli erkli vektor A ning bazisi deyiladi.
3-teorema. A tizimningrangi r ga teng bo`lsin. U xolda A dagi ixtiyoriy vektor undagi ixtiyoriy bazis orqali yagona usul bilan chiziqli ifodalanadi.
I s b ot. A da ixtiyoriy bazisni va ixtiyoriy X vektorni olamiz. U xolda tizim chiziqli bog`langan, ya`ni kamida biri nol’dan farqli bo`lgan shunday sonlar mavjudki,

Agar bo`lsa, u xolda bo`lib, sonlarning ichida kamida biri nol’dan farqli bo`lardi, ya`ni, tizim chiziqli bog`langan bo`lardi. Bu esa tizimning bazis ekanligiga zid. Demak . Bunga ko`ra yuqoridagi tenglikdan tenglikni olamiz. Bu bilan xar qanday X vektorning bazis orqali chiziqli ifodalanishi ko`rsatildi.
Endi X vektor ikki xil usul bilan bazis orqali ifodalangan bo`lsin: Bu tengliklarning birinchisidan ikkinchisini ayirib, ushbu

tenglikka kelamiz. Bundan bazisning chiziqdi erkliligiga asosan ni, ya`ni tengliklarni olamiz.
4 -t e o r e m a. da yotuvchi A va V to`plamlar berilgan bo`lib, V ning rangi S ga teng bo`lsin. Agar A tizim V orqali chiziqli ifodalansa, u xolda A dagi xar qanday ta vektor chiziqli bog`langan, ya`ni
I s b o t. Teoremani S bo`yicha matematik induktsiya usuli bilan isbotlaymiz. A to`plamda ixtiyoriy chiziqli erkli tizimni va V tizimda biror bazisni olamiz. U xolda 2-va 3-teoremalarga asosan vektorlarni bazis orqadi ifodalash mumkin:

Teoremani isbotaash uchun tengsizlikni isbotlash kifoya.

Agar B tizimning rangi bo`lsa, u xolda vektorlar chiziqli erkli bo`lgani uchun (1) tengliklardan tengsizlikni olamiz, ya`ni teorema uchun o`rinli. endi teoremani rangi bo`lgan xar qanday V to`plam uchun o`rinli bo`lsin deb faraz qilamiz. Agar (1) tizimda bo`lsa, u xolda rangi r ga teng bo`lgan tizim rangi ga teng bo`lgan tizim orqali chiziqli ifodalanardi. Bu xolda induktsiya bo`yicha farazimizga asosan . Bundan . endi koeffitsientlarning birortasi, masalan nol’dan farqli bo`lgan xolni ko`ramiz. Bu xolda (1) ning oxirgi tengligidan ni ifodalab olamiz:
.
Bu ifodani (1) dagi qolgan (r-1) ta tenglikka qo`yib, o`xshash xadlarni yig`ib chiqamiz. Natijada quyidagi tengliklar tizimini olamiz.

Bu tengliklar tizimi ushbu

vektorlar tizimining vektorlar tizimi or-qali chiziqli ifodalanishini ko`rsatadi.
vektorlarning chiziqli erkli ekanligini ko`rsatamiz. Xaqiqatan, biror sonlar uchun tenglik o`rinli bo`lsin, deb faraz qilaylik. Bu tenglikka vektorlarning ifodasini qo`ysak
Bundan o`xshash xadlarni yig`ib

tenglikni olamiz. S_r ..., S_g vektorlar chizikdi erkli bo`lgani uchun oxirgi tenglikdagi barcha koeffitsientlar nol’ga teng. Xususan . Bu esa vektorlarning chiziqli erkli ekanligini ko`rsatadi. SHunday kdiib, (2) tenglikka asosan rangi ga teng bo`lgan tizim rangi S-1 ga teng bo`lgan tizim orqali chiziqli ifodalanadi. Bundan indukqiyaning faraziga muvofiq ya`ni tengsizlik kelib chiqadi.
1-natija. fazoning rangi n ga teng.
Isbot. Xaqiqatan, ortlar tizimi chiziqli erkli bo`lgani uchun bu tizimning rangi n ga teng.

Ikkinchi tomondan ortlar tizimi orqali dagi ixtiyoriy (S₁ S₂, ..., S_p) vektor chiziqli ifodalangani uchun

Isbotlangan teoremaga asosan Bu ortlar tizimi da yotgani uchun
2-natija. dagi xar qanday A qism to`plam uchun
I s b o t. A qism to`plam da yotgani uchun orqali chiziqli ifodalanadi.
1-natijaga asosan Bundan va 4-teoremadan tengsizlik kelib chiqadi.
3-natija. da yotuvchi A va V tizimlar berilgan bo`lsin. Agar A tizim V orqali chiziqli ifodalansa va V tizim A orqali chiziqli ifodalansa,
Isbot. 2-natijaga ko`ra, va . Bundan va A tizim V orqali chiziqli ifodalangani uchun 4-teoremaga asosan . SHunga o`xshash . Demak