11-Mavzu. Matritsaning rangi. Kroneker–Kapelli teoremasi



Download 0,66 Mb.
bet3/5
Sana16.02.2023
Hajmi0,66 Mb.
#911894
1   2   3   4   5
Bog'liq
11-Mavzu. Matritsaning rangi. Kroneker–Kapelli teoremasi

fazoda biror A tizim olingan bo`lsin. Agar A dagi xar qanday ta vektor chizikli. bog`langan va unda r ta chizikli erkli vektorlar qism tizimi mavjud bo`lsa, bunday r soni A tizimning rangi deyiladi. Uni r(A) orqali belgilaymiz. Nol’ vektorlardan iborat tizimning rangini nol’ga teng deb xisoblaymiz.
Agar xar qanday m natural son uchun A da m ta chiziqli erkli vektor mavjud bo`lsa, bunday A to`plamning rangi cheksiz deyiladi va r(A) ko`rinishida yozamiz.
A tizimning rangi r ga teng bo`lsin. A dagi ixtiyoriy r ta chiziqli erkli vektor A ning bazisi deyiladi.
3-teorema. A tizimningrangi r ga teng bo`lsin. U xolda A dagi ixtiyoriy vektor undagi ixtiyoriy bazis orqali yagona usul bilan chiziqli ifodalanadi.
I s b ot. A da ixtiyoriy bazisni va ixtiyoriy X vektorni olamiz. U xolda tizim chiziqli bog`langan, ya`ni kamida biri nol’dan farqli bo`lgan shunday sonlar mavjudki,

Agar bo`lsa, u xolda bo`lib, sonlarning ichida kamida biri nol’dan farqli bo`lardi, ya`ni, tizim chiziqli bog`langan bo`lardi. Bu esa tizimning bazis ekanligiga zid. Demak . Bunga ko`ra yuqoridagi tenglikdan tenglikni olamiz. Bu bilan xar qanday X vektorning bazis orqali chiziqli ifodalanishi ko`rsatildi.
Endi X vektor ikki xil usul bilan bazis orqali ifodalangan bo`lsin: Bu tengliklarning birinchisidan ikkinchisini ayirib, ushbu

tenglikka kelamiz. Bundan bazisning chiziqdi erkliligiga asosan ni, ya`ni tengliklarni olamiz.
4 -t e o r e m a. da yotuvchi A va V to`plamlar berilgan bo`lib, V ning rangi S ga teng bo`lsin. Agar A tizim V orqali chiziqli ifodalansa, u xolda A dagi xar qanday ta vektor chiziqli bog`langan, ya`ni
I s b o t. Teoremani S bo`yicha matematik induktsiya usuli bilan isbotlaymiz. A to`plamda ixtiyoriy chiziqli erkli tizimni va V tizimda biror bazisni olamiz. U xolda 2-va 3-teoremalarga asosan vektorlarni bazis orqadi ifodalash mumkin:

Teoremani isbotaash uchun tengsizlikni isbotlash kifoya.


Agar B tizimning rangi bo`lsa, u xolda vektorlar chiziqli erkli bo`lgani uchun (1) tengliklardan tengsizlikni olamiz, ya`ni teorema uchun o`rinli. endi teoremani rangi bo`lgan xar qanday V to`plam uchun o`rinli bo`lsin deb faraz qilamiz. Agar (1) tizimda bo`lsa, u xolda rangi r ga teng bo`lgan tizim rangi ga teng bo`lgan tizim orqali chiziqli ifodalanardi. Bu xolda induktsiya bo`yicha farazimizga asosan . Bundan . endi koeffitsientlarning birortasi, masalan nol’dan farqli bo`lgan xolni ko`ramiz. Bu xolda (1) ning oxirgi tengligidan ni ifodalab olamiz:
.
Bu ifodani (1) dagi qolgan (r-1) ta tenglikka qo`yib, o`xshash xadlarni yig`ib chiqamiz. Natijada quyidagi tengliklar tizimini olamiz.

Bu tengliklar tizimi ushbu


vektorlar tizimining vektorlar tizimi or-qali chiziqli ifodalanishini ko`rsatadi.
vektorlarning chiziqli erkli ekanligini ko`rsatamiz. Xaqiqatan, biror sonlar uchun tenglik o`rinli bo`lsin, deb faraz qilaylik. Bu tenglikka vektorlarning ifodasini qo`ysak
Bundan o`xshash xadlarni yig`ib

tenglikni olamiz. Sr ..., Sg vektorlar chizikdi erkli bo`lgani uchun oxirgi tenglikdagi barcha koeffitsientlar nol’ga teng. Xususan . Bu esa vektorlarning chiziqli erkli ekanligini ko`rsatadi. SHunday kdiib, (2) tenglikka asosan rangi ga teng bo`lgan tizim rangi S-1 ga teng bo`lgan tizim orqali chiziqli ifodalanadi. Bundan indukqiyaning faraziga muvofiq ya`ni tengsizlik kelib chiqadi.
1-natija. fazoning rangi n ga teng.
Isbot. Xaqiqatan, ortlar tizimi chiziqli erkli bo`lgani uchun bu tizimning rangi n ga teng.


Ikkinchi tomondan ortlar tizimi orqali dagi ixtiyoriy (S1 S2, ..., Sp) vektor chiziqli ifodalangani uchun

Isbotlangan teoremaga asosan Bu ortlar tizimi da yotgani uchun
2-natija. dagi xar qanday A qism to`plam uchun
I s b o t. A qism to`plam da yotgani uchun orqali chiziqli ifodalanadi.
1-natijaga asosan Bundan va 4-teoremadan tengsizlik kelib chiqadi.
3-natija. da yotuvchi A va V tizimlar berilgan bo`lsin. Agar A tizim V orqali chiziqli ifodalansa va V tizim A orqali chiziqli ifodalansa,
Isbot. 2-natijaga ko`ra, va . Bundan va A tizim V orqali chiziqli ifodalangani uchun 4-teoremaga asosan . SHunga o`xshash . Demak

Download 0,66 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish