11-Mavzu. Matritsaning rangi. Kroneker–Kapelli teoremasi

MATRITSANING VA CHIZIQLI TENGLAMALAR
TIZIMINING RANGI

matritsaning ustunlarini S-o`lchamli vektorlar deb qaraymiz. A matritsaning ustunlaridan iborat bo`lgan vektorlar tizimining rangiga A matritsa ustunlarining rangi deb ataladi. Uni qisqalik uchun r_y{A) orqali belgilaymiz. Ravshanki,

Ushbu

tenglamalar tizimining echimi mavjudligi masalasini tekshirishga o`tamiz.
matritsaberilgan (a) chiziqli tenglamalar ti-zimi noma`lumlarining koeffiqientlari matritsasi va esa ( ) tizimning kengaytirilgan matritsasi bo`lsin. Bu matritsalar ustunlarining ranglari uchun
1-teorema (Kroneker - Kapelli). Berilgan ( ) chiziqli tenglamalar tizimining birgalikda bo`lishi uchun tenglikning bajarilishi zarur va kifoya.
I s b o t. Berilgan ( ) tizimning ozod-xadlaridan iborat bo`lgan ustunni V orqali belgilab, tizimni quyidagi vektor ko`rinishda yozib olamiz:

Berilgan ( ) tizim birgalikda bo`lsin deb faraz qilaylik. U xolda bundan va ( ) ifodadan V vektorning vektorlar orqali chiziqli ifodalanishi kelib chiqadi. tizimning rangi r ga teng bo`lib, uning ixtiyoriy bazisi bo`lsin. U xolda 2-§ dagi 3-teoremaga ko`ra, xar qanday vektor bu bazis orqali ifodalanadi. Demak, V vektor xam bu bazis orqali ifodalanadi. Bu tizimda xar qanday ta vektorning chiziqli bog`liqligini ko`rsatadi, ya`ni tenglik o`rinli.
Endi tenglik o`rinli bo`lsin deb faraz qilaylik. Bundan tizimning ixtiyoriy bazisi tizim uchun xam bazisligi kelib chiqadi. Bundan esa V vektorning tizim orqali chizikli ifodalanishi kelib chiqadi. Bu ( ) tenglamani va demak ( ) ni xam qanoatlantiruvchi noma`lumlarning qiymatlari mavjudligini ko`rsatadi.
Birgalikda bo`lgan (a) chiziqli tenglamalar tizimi uchun isbotlangan teoremaga asosan . Bu songa ( ) chiziqli tenglamalar tizimining rangi deymiz va r(a) orqali belgilaymiz. Ravshanki Xususan bo`lganda va faqat shu xoldagina tenglamalar tizimining barcha koeffitsientlari va ozod xadlari nol’ga teng.