11-Mavzu. Matritsaning rangi. Kroneker–Kapelli teoremasi

n O`LCHOVLI ARIFMETIK FAZO

Matritsalarning satrlari va ustunlari orasidagi bog`lanishlarni o`rganish maqsadida dagi (R-xaqiqiy to`plami) vektorlar ustida amallar kiritib, ularning xossalarini o`rganamiz.

Agar va koordinatalari xaqiqiy son bo`lgan n o`lchamli vektorlar bo`lsa, ushbu vektor ularning yig`indisi deb ataladi va orqali belgilanadi. Barcha koordinatali nol’ga teng bo`lgan (0, 0, ..., 0) vektor nol’ vektor deb ataladi va (ko`pincha 0) orqali belgilanadi.
Xaqiqiy sonlarni qo`shish amalining xossalaridan vektorlarni qo`shish amalining quyidagi xossalari bevosita kelib chiqadi:
) xar qanday uchta vektorlar uchun
(assoqiativlik)
) xar qanday vektor uchun

) xar qanday vektor uchun

tengliklarni qanoatlantiruvchi Uvektor mavjud; bu vektor bo`lib, X ga qarama-qarshi vektor deyiladi va -X orqali belgilanadi.
a<sub>4</sub>) xar qanday X, vekgorlar uchun (kommutativlik). Bu xossalar to`plam qo`shish amaliga nisbatan kommutativ gurux xosil qilishini ko`rsatadi.
Agar va bo`lsa, ushbu vektor X vektorning songa ko`paytmasi deyiladi va X orqali belgilanadi.
Xaqiqiy sonlarni ko`paytirish amalining xossalaridan vektorni songa ko`paytirish amalining quyidagi xossalari bevosita kelib chiqadi:
har qanday vektor uchun

xar qanday sonlar va vektorlar uchun

xar qanday va uchun

b₄) xar qanday va vektorlar uchun

to`plam vektorlarni qo`shish va vektorlarni songa ko`paytirish amallari bilan birga n- o`lchamli arifmetik fazo deyiladi.
Berilgan vektorlar va sonlar uchun ushbu vektor vektorlarning s₁ s₂, ..., s_k koeffitsientli chizikli ifodasi (kombinatsiyasi) deyiladi. Agar U vektor vektorlarning biror chiziqli ifodasiga teng bo`lsa, u vektorlar orqali chiziqli ifodalanuvchi deyiladi.
Agar vektorlar tizimi uchun ushbu

tenglikni qanoatlantiruvchi kamida biri nol’dan farqli bo`lgan sonlar mavjud bo`lsa, bu vektorlar tizimi chiziqli bog`langan deyiladi. Masalan, nol’ vektorni yoki ikkita bir xil vektorni o`z ichiga oluvchi dagi ixtiyoriy chekli vektorlar tizimi chizikli bog`langan.
1-teorema. vektorlar tizimi chiziqli bog`langan bo`lishi uchun bu tizimdagi biror vektorni boshqalari orqali chiziqli ifodalash mumkinligi zaruriy va kifoyaviy shartdir.
Isbot. vektorlar chiziqli bog`langan bo`lsin. U xolda kamida biri nol’dan farqli bo`lgan sonlar mavjudki, . Bu sonlar ichida nol’dan farqlisi bo`lsin. U xolda yuqoridagi tenglikdan ushbu

tenglik, ya`ni vektorning boshqalari orqali chiziqli ifodalanganligi kelib chiqadi.
Endi, aksincha, vektorlarning birortasi, masalan boshqalari orqali ifodalangan bo`lsin.

u holda

Buerda deb olsak,
bo`lgani uchun tizim chiziqli bog`langan.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi. Agar biror vektorlar tizimi chiziqli bog`langan qism tizimiga ega bo`lsa, bu tizimning o`zi xam chiziqli bog`langan bo`ladi.
CHiziqli bog`lanmagan vektorlar tizimi chiziqli erkli tizim xam deb ataladi. SHunday qilib, agar tizim uchun xar qanday ushbu

ko`rinishdagi tenglikdan tenglik kelib chiqsa, bu tizim chiziqli erkli bo`ladi. Ravshanki, chiziqli erkli tizimning xar qanday qism tizimi xam chiziqli erkli.
fazoda chiziqli erkli tizimga muxim misol keltiramiz. orqali i koordinatasi 1 ga va boshqa barcha koordinatalari nol’ga teng bo`lgan vektorni belgilaymiz. Ushbu

vektorlar tizimi chizikdi erkli. Xaqiqatan, bo`lgani uchun tenglikdan tenglik kelib chiqadi. vektorlar ortlar deb ataladi.
da A va V tizimlar berilgan bo`lsin. Agar A ning xar bir X vektori uchun V ning shunday chekli qism tizimi mavjud bo`lsaki, X vektor bu qism tizim orqali chiziqli ifodalansa, A tizim V tizim orqali chiziqli ifodalanuvchi deyiladi.
2-teorema. Agar A tizim V orqali chiziqli ifodalansa va V tizim S tizim orqali chiziqli ifodalansa, u xolda A tizim S orqali chiziqli ifodalanadi.
I s b o t. A ning ixtiyoriy X vektori V ning biror chekli qism tizimi orqali chiziqli ifodalanadi:
Xar bir vektor S dagi biror chekli qism tizim orqali chizikli ifodalanadi:

Bu tengliklarni X ning ifodasiga ko`ysak:

tenglama olamiz.