7.4.1-Ta’rif. Aytishadiki, M silliq ko’pxillikning A to’plam ostida X vektor maydon aniqlangan deyiladi, agar uning xar bir x A nuqtaga TxM vektor fazoning birorta Xx TxM vektori mos qo’yilgan bo’lsa.
X vektor maydonni x Xx akslantirish sifatida aniqlash uchun shunday bir tо‘plamni aniqlash kerakki bu tо‘plamga barcha Xx vektorlar tegishli bo’lsin. Ma’lum bо‘lmoqdaki turli nuqtalarga mos kelgan vektorlar turli urinma tekisliklarda (fazolarga) tegishlidir. Bu to’plam vazifasini
TM fazo, ya’ni urinma vektor fazolar qatlami T M to’g‘ri keladi. Shu sababli vektor maydonni
X : A→ T M
Akslantirish sifatida aniqlash maqsadga muvofiq bо‘ladi, bu yerda . Demak,T M – bu ko’pxillikning vektor fazolar qatlami ekan.
Yuqoridagi X :A→T M akslantirish qushimcha quyidagi xossaga egadir
Ixtiyoriy X A nuqta uchun P ( Xx)₌ x proyeksiya bo’lib, uning uchun P X=idA tenglik o’rinli;
M ko’pxillikni sohasidagi X vektor maydon silliq deb yuritiladi, agar u uchun quyidagi uchta о‘zaro ekvivalent shartlardan biri о‘rinli bo’lsa:
1) X : A → T M (1)
akslantirish A =G bo’lganda silliq akslantirishdan (silliq kо‘pxillik orasidagi akslantirishlar kabi) iborat bo’lsa:
2) M ko’pxillikning G sohasidagi aniqlangan ixtiyoriy silliq f funksiya uchun (Xf) (x) ₌Xuf formula orqali aniqlangan Xf funksiya silliq bo’lsa:
3) ixtiyoriy x G uchun shunday (U, h )karta topiladiki, x vektorning Xx koordinalari x nuqtaning x1.....xp koordinatalariga silliq bog‘liqdir.
M ko’pxillikni A to’plamostisida aniqlangan X vektor maydon silliq deyiladi, agar shunday kamida bitta silliq V vektor maydon mavjud bo’lsaki G ning A G ochiq tuplamostisida aniqlangan u A tuplamda X bilan ustma - ust tushsa yani
UA =X. Bu Ѵ vektor maydoniga X vektor maydoning kengaytmasi deb yuritiladi.
7.4.2-Ta’rif. Aytamizki , silliq M ko’pxillikda Riman strukturasi aniqlangan deyiladi, agar har bir urinma TxM fazoda ˂ ˃ skalyar kupaytma aniqlangan bo’lib u x nuqtaga silliq bog‘liq bo’lsa, yani M silliq ko’pxillikning ixtiyoriy silliq X va Y vektor maydonlari uchun ˂ X, Y˃ funksiya M da silliq bo’lsa;
Riman kо‘pxilligi deb, bog‘lamli M ko’pxillikda silliq Riman strukturasi aniqlangan kо‘pxillikga aytiladi. Agar boshqachasi aytilmagan bo’lsa, biz bu tarifdagi M uchun deb hisoblaymiz.
Ikki Riman ko’pxilliklar M1 va M2 lar izometrik deb yuritiladi, agar .ular orasida : M1 → M2 diffeomorfizm mavjud bo’lib, ixtiyoriy X M va ixtiyoriy vektorlar uchun
o’rinli bo’lsa.
Bu tarifdagi akslantirishga izometriya deb yuritiladi.
Riman kо‘pxilliklariga eng sodda misol sifatida evklid fazosini olish mumkin.
Aytaylik, bizga Riman kо‘philligi M bо‘lsin tarifga ko’ra, M bog‘lamli fazodir. Bog‘lamli silliq M kо‘pxillikda ixtiyoriy ikki nuqta orasida S yo’l mavjud bo’ladi. M silliq kup xillikning ixtiyoriy R va Q nuqtalari orasidagi masofa masofani quyidagicha aniqlaymiz: bu yerda inf conu P va Q nuqtalarni tutashtiruvchi barcha bо‘lakli-chiziqli yо‘llar bо‘yicha hisoblanadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |