|
Teorema 7.4.1. (1) tenglik bilan aniqlangan funksiya M kо‘pxillikda metrika bо‘ladi va u quyidagilarni qanoatlantiradi:
1) ( P,Q )>0;
2) ( P,Q )= ( Q,P );
3) ( P,L )+ ( L,Q )> ( P,Q );
4) ( P,P )=0;
5) agar P bо‘lsa, ( P,Q )>0.
Bu funksiyaga M kо‘pxillikdagi Riman metrikasi deyiladi.
Demak , ixtiyoriy Riman kо‘pxilligi metrik fazo bо‘lar ekan.
Qopketganlar
Silliq ko’pxilliklarda Riman metrikasi L2
Agar chiziq [a, b] chizmada xi=xi (t) formula orqali berilgan bo’lsa u holda uning uzunligi
Formula bilan hisoblangan edi. Bu holda biz Rn fazoda evklid koordinatalari bilan ish ko’rgan edik. Endi biz yangi z1, z2,…,zn koordinatalarni olsak, zi=zi(t), i=1n ga ega bo’lamiz. Bunda
Shu chiziq uchun yangi koordinatalarda uning uzunligi
formula orqali hisoblanadi, bunda b miqdor [a,b] da o’zgaradi va
tengligi o’rinlidir. Shu sababli
tenglik o’rinli. Hamda bu tenglik matritsa yozuvida
G = A x AT ko’rinishda bo’ladi, bunda G=(Gis),
AT – transponirlangan matritsa.
Taqsimlamoqchiligimizni shu chiziqning t ga o’tkazilgan tezlik vektori, lekin bu vector yangi z1, z2,…,zn koordinatalarida qaraladi.
Ta’rifga ko’ra o’sha vektordir. Hamda vector bitta
nuqtada (Z) va (X) koordinatalarga ega.
Ko’p hollarda riman metrikasi evklidfazosidagi yoy uzunligi differensiali ko’rinishida quyidagicha ifodalaydilar
deport koordinatalar sistemasi:
qutb koordinatalari sistemasida
(n=2):(dl)2=(dr)2+r2(dφ)2
silindrik koordinatalar sistemasida
(dl)2=(dr)2+r2(dφ)2+(dr)2
so'qiq koordinatalar sistemasida:
(dl)2=(dr)2+(dθ)2+sin2θ(dφ)2)r2.
Shunday qilib, Rn fazoning koordinatlari z1, z2,…,zn bo’lgan birorta sohasi Riman metrikasi Gis ni aniqladik, bunda
Gis=Gis(z1, z2,…,zn), lar
.
Dekart (x1, x2, … , xn) koordinatlarida
tenglik o’rinli bo’ladi.
biz har doim yoki Gis formulasini ayniymaslik shartini qo’yamiz.
Agar (Gis(z1, z2,…,zn)) matritsa musbat aniqlangan kvadratning formasining matritsasi bo’lsa, ya’ni barcha holdan farqli vektorlarning (egri chiziqlarning) uzunliklari musbat bo’lsa, aytamizki Gis Riman metrikasini ifodalaydi.
Ta’rif. Differensiallanuvchi (silliq) ko’pxillik deb quyidagicha struktura bilan ta’minlangan ixtiyoriy M nuqtalar to’plamiga aytiladi:
M to’plam o’zining Uq larga “atlas” deb yuritiladi, ya’ni M = qυUq8
Har bir Uq atlas uchun φq o’zaro bir qiymatli moslik bo’lib Rn fazoning birorta ochiq Vq to’plamasi orasida o’rnatilgandir.
φ : Uq → Vq , Vq ≤ Rn
Demak, a) M = υ Uv , Uq – local kartalar deb yuritiladi.
b) φ : Uq → Vq
Rn fazoda har bir nuqta ma’lumki, (y1, y2, … , yn) koordinatlarga ega.
Bu o’zaro bir qiymatli moslik Uq to’plamda quyidagi funksiyalar naborini (funksiyalar tizizi, chekli ketma-ketligini) vujudga keltiradi:
Bu holatda bitta M nuqta bir vaqtda bir necha lokal kartalarga tegishli bo’lishi mumkin, ya’ni P € UpηUq1. Kortalaning UpηUq kesishmasida ikki lokal koordinatalar sistemasi o’rinli bo’ladi. Bu holatlarda (kesishmalarda) koordinatalar biri ikkinchi orqali silliq ifodalanadi va
Shuni ta’kidlashimiz mumkinki, ixtiyoriy 2 ta atlas, ekvivalent hisoblanadi.
Bizga quyidagi ikki M = υ Up va N = qυNq
Koordinatalari va bo’lgan ko’pxilliklar berilgan bo’lsin.
Ta’rif.
Ixtiyoriy f : M → N almashtirish silliq sinfi K-ga tegishli yoki K-sinfiga tegishli deyiladi, agar ixtiyoriy (q, p) juftlik uchun barcha
funksiyalar o’zining aniqlanish sohasida silliqligi K-sinfga tegishli bo’lsa.
Ta’rifdan ma’lum bo’lmoqdaki, almashtirishning silliqlik sinfi ko’pxillikning silliqlik sinfidan katta emas.
(*) koordinatalarini almashtirishda ularning umumiy silliqlik sinfi kesishma koordinatalarida ham bir xil deb hisoblanadi hamda kesishmadagi koordinatalarining silliqlik sinfi ixtiyoriy cheksizga teng deb olinadi.
Rn fazoning ochiq sohalaridan iborat bo’lgan ixtiyoriy qoplamasi berilgan bo’lsin. Rn fazoning Wq sohadagi silliq N K-o’lchamli qism ko’pxilligi.
Wq sohada aniqlangan quyidagi lokal chekli tenglamalar tizimi orqali aniqlanadi:
(*)
Bunda funksiyalar Wq sohada C∞ silliqlik sinfiga tegishlidir.
Hamda, har bir matritsaning rangi Nk qismi ko’pxillikning har bir nuqtasida (n – k) teng bo’lishi shart.
Jumladan, fp = 0 va fq = 0 tenglamalar nabori Wp η Wq kesishma nuqtalarida ekvivalentligi talab qilinadi.
Endi biz qism Nk ko’pxillikda lokol atlas Uq kartalarni ko’rishni ko’rsatamiz, bunda q indekslar Nk qism ko’pxillik nuqtalari bilan o’zaro bir qiymatli moslikda bo’ladi. ya’ni q = Q € Nk.
Aytaylik, Q € Nk qism ko’pxillikning aniqlnishiga ko’ra shunday
i1, i2, … , in–k tartib raqamlar nomeri tizimi topiladi, ular
shartli qanoatlantiriladi. Oshkormas funksiyalar haqidagi teoremaga ko’ra Q nuqtaning birorta ochiq atrofi atrofida (*) tenglamalarini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi:
(* *)
bu yerda 1 ≤ p ≤ n–k , shuningdek, f1, f2, … , fk nomerlar i1, i2, … , ik nomerlarga qo’shimcha nomerni tashkil qiladi.
Rk fazoda shunday yetarlicha kichik sohani tayin qilamizki, u (* *) sistema o’rniga bo’lsin. Bu sohani VQ bilan belgilaymiz. Bu sohadagi
Yi1 , … , Yi n koordinatalarini, . Uq bilan esa Nk qism ko’pxillikning (* *) ning o’rinli bo’lishi asosida Vq mos keluvchi nuqtalarini belgilaymiz.
Bu holatda quyidagi teorema o’rinli bo’ladi.
Teorema.
Yuqorida aniqlangan Nk nuqtalar to’plami lokol atlaslarda UQ aniqlangan lokol koordinatalar bilan birgalikda silliq ko’pxillikdan iborat bo’ladi.
Ta’rif. M ko’pxillikning ixtiyoriy x nuqtasidagi urinuvchi vektori deb, ) lokol koordinatalar sistemasida ifodalangan (yozilgan) sonlar qatori ko’rinishida yozilgan vektorga aytiladi. Eslatamizki, nuqtani o’zida saqlovchi bitta vektorning turli lokal koordinatlar sistemasi quyidagi formula orqali bog’liqligi mavjud.
Urinma vektorlari (urinuvchi vektorlari) to’plami n – o’lchamli chiziqli fazoni tashkil qiladi, xususiy holda, ixtiyoriy silliq chiziqning tezlik vektori urinma vektordan iborat bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
