Vektor maydon sirkulyatsiyasi. Stoks formulasi. Vektor maydon uyurmasi

VEKTOR MAYDON SIRKULYATSIYASI. STOKS FORMULASI.
VEKTOR MAYDON UYURMASI
Fazoning biror sohasida vektor maydon

vektor orqali hosil qilingan boʻlsin. Bu sohada biror L yopiq chiziqni olamiz.
Yopiq L kontur boʻyicha chiziqli integral vektor maydon sirkulyatsiyasi deyiladi va C bilan belgilanadi, ya’ni
. (30.1)
Agar , , funksiyalar oʻzlarining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga S sohada uzluksiz boʻlsa, u holda quyidagi formula oʻrinli boʻladi:

(30.2)
Bu (30.2) tenglik Stoks formulasi deyiladi.
vektоr maydоnning uyurmasi(yoki rotori) deb M nuqtaning
bilan belgilanadigan va
(30.3)
formula bilan aniqlanadigan vektor maydoniga aytiladi, bunda xususiy hosilalarni M nuqtada topiladi.
Uyurmaing formulasini determinant yordamida quyidagicha yozish mumkin:
_{. (30.4)}

Uyurma tushunchasidan foydalanib, (30.2) Stoks formulasini vektor shaklida yozish mumkin

. (30.5)
Bundan, vektоr maydоnning L yopiq chiziq boʻyicha sirkulyatsiyasi vektоr maydon uyurmasining shu yopiq chiziq bilan chegaralangan S yopiq soha orqali oʻtuvchi oqimiga teng ekan.
Agar vektor maydonning har bir nuqtasida uyurmasi nolga teng boʻlsa, ya’ni boʻlsa, bunday vektor maydonga potensial(yoki gradiyentli, yoki uyurmasiz) maydon deyiladi.
Nuqtaviy zaryadlar kuchlanichining elektrostatik maydoni potensial maydonga misol boʻladi.
Potensial maydonning shu maydondagi ixtiyoriy yopiq chiziq boʻyicha sirkulyatsiyasi nolga teng.
Potensial maydon biror bir skalyar funksiyaning gradiyentiga teng, ya’ni . Bunday funksiya vektor maydon potensiali ( yoki potensial funksiyasi) deyiladi.
vektоr maydоnning potensiali quyidagi formula yordamida topiladi:

, (30.6)
bu yerda tayinlangan nuqtaning koordinatalari, esa ixtiyoriy nuqta koordinatasidir.
Agar vektor maydonning har bir nuqtasida divergensiyasi nolga teng boʻlsa, ya’ni boʻlsa, bunday vektor maydonga solenoidli(yoki naychasimon) maydon deyiladi.
1-misol. Ushbu vektor maydonning tekislikning koordinata tekisliklari bilan kesishish chizigʻi boʻyicha sirkulyatsiyasini hisoblang.
►L yopiq chiziq 1-shakldagi uchburchak konturi, ya’ni ABCA. Sirkulyatsiya ta’rif boʻyicha, (30.1) ikkinchi tur egri chiziqli integral bilan ifodalanadi:

L yopiq chiziqni boʻlaklarga ajratib, chiziqli integralni uchta integralning yigʻindisi shaklida ifodalab hisoblaymiz. Buning uchun har bir boʻlak egri chiziqning parametrik tenglamasini tuzamiz.

1. 
   AB chiziq tenglamasi: , esa 0 dan 3gacha oʻzgaradi.
   

2. 
   BC chiziq tenglamasi: , esa 0 dan -4 gacha oʻzgaradi.
   

3. 
   CA chiziq tenglamasi: , esa 0 dan 6 gacha oʻzgaradi.
   

Demak, _◄

1-shakl

2-misol. Ushbu vektor maydonning tekislikning koordinata tekisliklari bilan kesishish chizigʻi boʻyicha sirkulyatsiyasini Stoks formulasi yordamida hisoblang.
►L yopiq chiziq 1-shakldagi uchburchak konturi, ya’ni ABCA. Berilishiga koʻra,
,


Bu yerda berilgan ABC uchburchak sirtini mos ravishda Oyz, Oxz, Oxy tekisliklardagi proyeksiyalarini aniqlaymiz va sirt integralini ikki karrali integralga olib kelib hisoblaymiz.

1. 
   
   

2. 
   
   

3. 
   
   

Topilganlarni jamlab quyidagini aniqlaymiz:
.◄

3-misol. Ushbu

vektor maydonning uyurmasini da hisoblang.
► ga koʻra,

Demak, .◄
4-misol. Ushbu

vektor maydonning potensial maydon ekanini koʻrsating va maydon potensialini toping.
► Avval berilga maydonning potensial maydon ekanini, ya’ni ekanini koʻrsatamiz. boʻlgani uchun
.
Potensial ni hisoblash uchun (30.6) formulani qoʻllaymiz.

.◄