1-varyant super kengaytma funktori

Sirtlarda geodezik chiziqlar. Sirtlarning ichki geometriyasi.

Ikki S va S’ sirtlar izometrik deb aytamizki, agar S va S’ sirtlar nuqtalari orasida biyektiv moslik o’rnatilgan bo’lib, ularning o’zaro mos chiziqlari uzunliklari teng bo’lsa.Agar S va S’ sirtlar izometrik bo’lsalar, u holda u sirtlar biridan ikkinchisi buklanib (qayirib) hosil qilingan deb yuritiladi. Boshqacha qilib aytganda, sirtlarni buklash (egish) bu ularni shunday deformatsiya qilishki, natijada ularni egri chiziqlari uzunliklari o’zgarmaydi.

Masalan, to’g’ri turtburchaklni bo’ksak burchakli figura yoki silindirsimon sirt hosil buladi. Hosil bo’lgan figuralar izometrikdir.

1-rasm

Izometrik sirtlar uchun quydagi teoremalar o’rinlidir.

T e o r e m a 1. Agar S₁ va S₂ sirtlar ₁ (u,v) va ₂ (u,v)lar C’ sinfga tegishli bitta D R² sohada aniqlangan vector funksiyalar bo’lsa va D sohada S₁ va S₂ sirtlar birinchi kvadratik formalari koeffisientlari teng bo’lsa, ular izometrikdir

T e o r e m a 2. Aytaylik, C’ silliq sinfga tegishli S₁ va S₂ sirtlar D⊂R² sohada r ̅₁ (u,v) va

r ̅₂(u,v) Ko’rinishda bir xil parametrlarga ega bo’lib izometrik bo’lsa hamda bu izometriyada xar bir nuqtasi ichki (u,v) koordinatalariga ega bo’lsa, u holda ularning birinchi kvadratik formalari koeffisienlari teng bo’ladi.

Bu ikki teoremadan ma’lum bo’lmoqdaki, sirtlarni buklasa ( izometriyasida) sirtlarning nuqtalari koordinatalari bir xil bo’lar ekan. Bundan ma’lum bo’lmoqdaki, sirtlarning izometriyasida uning ko’pgina tushuncha va xossalari o’zgarmas ekan. Shu xossalarni invariantlarini o’rganish sirtlarning ichki geometriyasini tashkil qiladi.

1. Aytaylik, silliqligi С² sinfga tegishli S sirtning С² silliq chizig’i berilgan bo’lsin hamda vektor γ chiziqning X nuqtasidagi birlik o’rinma vektori vektor S sirtning shu X nuqtsidagi normali, k vektor chiziqning shu X€ nuqtada egriligi va S-esa ning tabiiy parametri bo’lsin.

X nuqtada ortonormallangan { , }bazisni qaraylik, bunda [ ]vektor ko’paytma. Egrilik vektori ni bu bazisdagi yoyilmasini qaraylik, chunki Shu sababli

Bundan =k_n va

T a’ r i f . songa chiziqning X€ nuqtadagi geodezik egriligi deyiladi va k_g bilan belgilanadi.

k_g son uchun quyidagi tenglikni yozaylik k_g=( )=( )

Frenening formulasidan quyidagiga ega bo’lamiz

k_g=( )=( ) (1)

2 – rasmdan ega bo’lamiz. normal egrilik vektori, vektor esa geodezik egrilik vektoridir. Ma’lumki .

2. Geodezik egrilik – sirtning ichki geometriyasi obyektidir.

Aytaylik chiziq C² sinfga taluqli C²-silliq S sirtda yotsin va parametrlangan bo’lsin. Silliq chiziq uchun (1)formulani yopib geometrik ma’noni keltirsak





бу ерда

A=

B=

C=L

Yuqoridagilarni hisobga olib va k_g=( ) dan foydalansak

k_g= -2 ga ega bo’lamiz. Bu yerda E, G, F, lar kvadratik forma koeffisientlari, lar darivatsion formulalar koeffisienlaridir. Demak quyidagi o’rinli ekan.

T e o r e m a . 3 Geodezik egrilik sirtning ichki geometriyasi obyektidir.

3. T a’ r i f. Sirtagi chiziq geodezik chiziq deyiladi, agar uning xar bir nuqtasida geodezik egriligi nolga teng bo’lsa .

M i s o l 1. S-aylanma sirt bo’lsin. S ning parametrik tenglamasini quyidagicha aniqlaymiz.

, , 2=v u va v koordinatalar va I kvadratik forma

larni hisibga olib geodezik chiziq tenglamalari bo’ladi. Bu tenglama yechimi u=as+b, v=cs+d bo’lib, ular Sga , geodezik chiziqlarni hosil qilib, ular vint chizig’idan iboratdir.

M i s o l 2. S² - sfera sirti olsak, unda katta aylanalar geodezik chiziqlar bo’ladi.

T e o r e m a. C² sinfga tegishli ixtiyoriy silliq C sirtning ixtiyoriy nuqtasidan ixtiyoriy yo’nalishda yagona geogezik chiziq o’tkazish mumkin.

T e o r e m a. Agar P va Q nuqtalar S sirtda geodezik chiziqning yetarlicha yaqin nuqtalari bo’lsa, u holda PQ yoy uchlari P va Q nuqtalarda bo’lgan yoylarning eng kichigidir.

19

1

2